浅谈树型动态规划

浅谈树型动态规划中山市华侨中学——李彦亭一、什么是树型动态规划顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：1．根—叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。2．叶－根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。二、例题与解析加分二叉树【问题描述】设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；（1）tree的最高加分（2）tree的前序遍历【输入格式】第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。【输出格式】第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。【输入样例】5571210【输出样例】14531245[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j],value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j],value[j,j]+value[i,j-1]}题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示[PASCAL源程序]{$N+}programNOIP2003_3_Tree;constmaxn=30;vari,j,n,d:byte;a:array[1..maxn]ofbyte;value:array[1..maxn,1..maxn]ofcomp;root:array[1..maxn,1..maxn]ofbyte;s,temp:comp;f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;procedurepreorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}beginifp2=p1thenbeginwrite(f2,root[p1,p2],'');preorder(p1,root[p1,p2]-1);preorder(root[p1,p2]+1,p2);end;end;beginwrite('InputfileNo:');readln(fileNo);fn1:='tree.in'+fileNo;fn2:='tree.ou'+fileNo;assign(f1,fn1);reset(f1);assign(f2,fn2);rewrite(f2);readln(f1,n);fori:=1tondoread(f1,a[i]);close(f1);fillchar(value,sizeof(value),0);fori:=1tondobeginvalue[i,i]:=a[i];{计算单个节点构成的二叉树的加分}root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点}end;fori:=1ton-1dobeginvalue[i,i+1]:=a[i]+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0或2，则最后输出的前序遍历结果是唯一的。}end;ford:=2ton-1dobegin{依次计算间距为d的两个节点构成的二叉树的最大加分}fori:=1ton-ddobegins:=value[i,i]+value[i+1,i+d];{计算以i为根节点，以i+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分}root[i,i+d]:=i;{记录根节点i}forj:=1toddobegintemp:=value[i+j,i+j]+value[i,i+j-1]*value[i+j+1,i+d];{计算以i+j为根节点，以i至i+j-1间所有节点为左子树，以i+j+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分}iftempsthenbegin{如果此值为最大}s:=temp;root[i,i+d]:=i+j;{记下新的最大值和新的根节点}end;end;temp:=value[i,i+d-1]+value[i+d,i+d];{计算以i+d为根节点，以i至i+d-1间所有节点为左子树的二叉树的最大加分}iftempsthenbegins:=temp;root[i,i+d]:=i+d+1;end;value[i,i+d]:=s;end;end;writeln(f2,value[1,n]:0:0);{输出最大加分}preorder(1,n);{输出最大加分二叉树的前序遍历序列}close(f2);end.[点评]基本题。考查了二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。Ps：其实这题真正意义上来说还是一道普通的dp题目，但它批上了树的外表，所以都拿来作对比和讨论，解题报告出自湖北省水果湖高中伍先军写的第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛（N0IP2003）复赛提高组解题报告。Ural1018二*苹果树题目有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树25\/34\/1现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。输入格式第1行2个数，N和Q(1=Q=N,1N=100)。N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。每根树枝上的苹果不超过30000个。输出格式一个数，最多能留住的苹果的数量。样例输入52131141023203520样例输出21解析：因为题目一给出就是二叉的，所以很容易就可以写出方程：a(I,j):=max(a(i.left,k)+a(i.right,j-k)),0=k=j源程序代码：由于比较简单便不给完全的代码了。Functiontreedp(x,y:longint):longint;VarI,j,k:longint;BeginJ:=0;ForI:=0toydobegink:=treedp(b[x].l,I)+treedp(b[x].r,y-I);ifkjthenj:=k;end;treedp:=j;End;选课[问题描述]在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？输入：第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1=N=200,1=M=150)接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si,ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1=ki=N,1=si=20）。输出：只有一行，选M门课程的最大得分。样例：输入：7422010421717622输出：13解析：这题比苹果树多了一个步骤就是把一棵普通树转化为二叉树。读入数据时把二叉树建好：第一个孩子作为父节点的左子树，其它孩子作为第一个孩子的右子树。F（x，y）：表示节点x取y门课得最高学分，则F（x，y）＝max（f（x.l,k-1）+x.v+f(x.r,y-k)）k=0,1,..yf（x.l,k-1）+x.v(课程x的学分):表示选了课程x,左孩子选k-1门课,共k门课。f(x.r,y-k)表示右孩子只能选y-k门课。标程中节点－1表示空节点，0是根节点，1—n是n门可选课程的节点.思考:若本题加上选那些课程可得到这个最大学分,怎样修改程序？实现：怎么实现，是在竞赛中的很重要的一个问题，如果你想ac了这道题目的话，你应该熟悉怎么把一棵树转化成二叉树，完后怎么用递规的思想来实现动态规划。所以坚实的基础是很重要的东西，如果没有了基础，什么都是空中楼阁。程序中已经边读边把二叉树建立好了。源程序代码：programbluewater;typetree=recordl,r,k:longint;end;vars:string;i,j,k,l:longint;n,m:longint;a:array[0..200]oftree;b:array[-1..200,0..150]ofinteger;f:array[0..200]oflongint;proceduretreedp(x,y:longint);vari,j,k,l:longint;beginifb[x,y]=0thenexit;treedp(a[x].r,y);{只有右子树的情况}j:=b[a[x].r,y];fork:=1toydo{左右子树都有的情况}begintreedp(a[x].l,k-1);treedp(a[x].r,y-k);i:=b[a[x].l,k-1]+b[a[x].r,y-k]+a[x].k;ifijthenj:=i;end;b[x,y]:=j;end;beginreadln(s);assign(input,s);reset(input);readln(n,m);fillchar(f,sizeof(f),0);fori:=0tondobegina[i].l:=-1;a[i].r:=-1;a[i].k:=-1;end;{buildtree}fori:=1tondobeginreadln(k,l);a[i].k:=l;iff[k]=0thena[k].l:=ielsea[f[k]].r:=i;f[k]:=i;end;{bianjie}fori:=-1tondoforj:=-1tomdoif(i=-1)or(j=0)thenb[i,j]:=0elseb[i,j]:=-1;{treedp}treedp(a[0].l,m);{output}writeln(b[a[0].l,m]);end.Tju1053技能树Problem玩过Diablo的人对技能树一定是很熟悉的。一颗技能树的每个结点都是一项技能，要学会这项技能则需要耗费一定的技能点数。只有学会了某一项技能以后，才能继续学习它的后继技能。每项技能又有着不同的级别，级别越高效果越好