曲线方程与椭圆高数整理版

课题：曲线与方程、椭圆【教学目标】一、知识目标1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义，会判定一个点是否在已知曲线上；2、了解解析几何的基本思想和用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；3、初步掌握求曲线的方程的方法；4、掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程，能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程；5、使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；6、通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。7、能利用椭圆的性质解决实际问题。二、能力目标培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。提高学生观察、分析、综合的技能。三、情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点】1、理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程；2、椭圆的定义、方程及标准方程的推导；3、椭圆焦点、焦点位置与方程关系、焦距；4、利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。【教学难点】1、椭圆标准方程的建立和推导；2、利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【考点分析】曲线与方程是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。要注重对通性通法的求解和运用。椭圆高考中主要出现三种类型的试题：①考查椭圆的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.【知识点梳理】1.曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。2.求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。（查漏除杂）.3.求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（'y,'x）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将'y,'x表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得出P的轨迹方程。代入法也称相关点法。（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。交轨法可以说是参数法的一种变形。4.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.5.椭圆定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.6.椭圆的标准方程（1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac；（2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c7.椭圆的几何性质：标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图象性参数关系222cba焦点)0,(),0,(cc),0(),,0(cc焦距c2质范围byax||,||bxay||,||顶点),0(),,0(),0,(),0,(bbaa)0,(),0,(),,0(),,0(bbaa离心率)1,0(ace注意：（1）解关于椭圆的问题时，首先要将椭圆方程化为标准方程形式，然后判断焦点的位置：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．（2）在求椭圆方程时，若焦点的位置不能确定，也可以设成)0,0(122BAByAx．（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0,0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．【典型例题】题型一曲线与方程的概念的运用例1：证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(kk的点的轨迹方程是kxy。思路分析：1）题意分析：本题考查对曲线方程的概念的理解和运用。2）解题思路：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明。解答过程：证明：（1）设M（x0，y0）是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为0y，与y轴的距离为0x，所以kyx00即),(00yx是方程kxy的解。（2）设1M的坐标),(11yx是方程kxy的解，那么kyx11即kyx11，而11,yx正是点1M到x轴，y轴的距离，因此点1M到两条坐标轴的距离的积是常数k，点1M是曲线上的点。由（1）（2）可知，kxy是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(kk的点的轨迹方程。解题后的思考：注意要从两个方面来证明曲线的方程的概念的运用。例2：下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l，为什么？（1）x－y=0（2）－=0（3）x2－y2=0（4）|x|－y=0思路分析：1）题意分析：本题考查对曲线与方程的概念的准确理解。2）解题思路：先看图，分析其表示的解析式，然后对已知的4个选项进行逐个分析。解答过程：方程（1）是表示直线l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l的方程。（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论。（3）中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2=0的解为坐标的点不全在直线l上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论。（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）。解题后的思考：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定。判定时必须要同时满足（1）直线l上的点的坐标都是方程的解。（2）以方程的解为坐标的点都在直线上。变式：指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x－2=0（2）（2x+3y－5）（0)13x（3）（3x－4y－12）[0]3)2(log2yx（4）0324222yxyx解：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y轴的直线；（2）因为0)13)(532(xyx.4)3(05324)3(0532013030532xxyxxxyxxxyx和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线)3x(05y3x2和一条直线x=4。（3）因为（3x－4y－12）[0]3)2(log2yx直线。线（除去端点）和一条故表示的曲线为一条射或即或82)512(0124303)2(log02012432yxxyxyxyxyx故方程表示的曲线为一条射线512x012y4x3（除去端点）和一条直线x+2y=8。（4）因为0324222yxyx0)1()1(222yx则方程表示的图形为一个点（1，－1）题型二求曲线的轨迹方程例3.设A、B两点的坐标是（－1，－1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.思路分析：1）题意分析：本题考查如何求解曲线方程。2）解题思路：首先分析由于求解的是直线方程，所以应利用直线方程的求解方法得到。其次，我们可以直接运用求曲线方程的一般步骤进行求解。解答过程：解法一：∵7(1)23(1)ABk，∴所求直线的斜率k=－0.5又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22，即（1，3）∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y－7=0解法二：:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法解：设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|∴2222(x+1)+(y+1)=(x-3)+(y-7)2222x+2x+1+y+2y+1=x-6x+9+y-14y+49∴∴270xy（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270xy的解；（2）设点1M的坐标11(,)xy是方程（Ⅰ）的解，即11270xy∵以上变形过程步步可逆，∴22221111(x+1)+(y+1)=(x-3)+(y-7)11MA=MB综上所述，线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0。解题后的思考：第一种解法运用了现成的结论，解题时比较容易，但它需要你对所研究的曲线有一定的了解；第二种解法虽然有些走弯路，但这种解法具有一般性。例4.已知点M与x轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等，求点M的轨迹方程。思路分析：1）题意分析：本题考查在坐标系中求解点的轨迹方程。2）解题思路：根据已知的坐标系，结合两点间的距离公式，我们可通过点M满足的关系式来求解。解答过程：设点M的坐标为（x，y）∵点M与x轴的距离为y，22(4)FMxy∴y=22(4)xy∴222816yxyy∴2816xy就是所求的轨迹方程。解题后的思考：注意对于用坐标表示的距离，解题时一定要加上绝对值，确保不漏掉解。变式：过点P1(1,5)作一直线交x轴于点A，过点P2(2，7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB上，且BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．解：设P2B的直线方程为：y－7＝k(x－2)，则P1A的方程为：y－5＝－1k(x－1)，则有A(5k＋1,0)、B(0，－2k＋7)．设M(x，y)，则由BM∶MA＝1∶2，得x＝5k＋13，y＝－4k＋143.消去k，并整理得12x＋15y－74＝0.∴动点M的轨迹方程为12x＋15y－74＝0.题型三椭圆的概念及其标准方程例5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点