曲面积分题目

第一类曲面积分轮换对称性：1.设曲面为2224,xyz则22()?xydS基本计算2.（3决）3.设为222xyz夹在平面0z和(0)2tzt之间的部分，22()(1)ItxydS，求()It在(0,)内的最大值。4.（2决）5.设S是椭球面222122xyz的上半部分（0z），点,PS为S在P点处的切平面，(,,)xyz为原点O到平面的距离，求3(,,).SIzxyzdS6.设椭球面2222221xyzabc的点(,,)Pxyz处的切平面为，为原点O到平面的距离，求1.SIdS7.物理应用8.求面密度为1的均匀锥面2222220,(0)xyzzbabc对直线100xyzb的转动惯量。质点A对轴L的转动惯量2LImd，m是质点A的质量，d是质点A与轴L的距离9.求一段均匀圆柱面222:(0)SxyRzH对原点处单位质点的引力，面密度为。第二类曲面积分一、基本计算1.轮换对称性2.求2222.coscoscosSdydzdzdxdxdyIxxyzz其中S是球面2221xyz的外侧。两类曲面积分之间的关系指向上侧是取“+”，指向下侧是取“”。3.设是曲面2222xyza的外侧，cos,cos,cos是其外法线方向的方向余弦，求32222coscoscos.()xyzdSxyz注意：322232()xyza4.求333(coscoscos),IxyzdS是锥面222zxy在10z的部分，cos,cos,cos是上任一点(,,)xyz的法线向量的方向余弦，且cos0.二、高斯公式1.求22(1)84.Ixdydzxydzdxxzdxdy是由曲线(0)yxeya绕x轴旋转而成的曲面。2.设()fu有连续导函数，计算11()(),xxIfdydzfdydxzdxdyyyxy其中是22226,8yxzyxz所围立体的外侧。3设函数()fx除原点外处处具有连续导数，在围绕原点的任意光滑简单闭曲面S上，积分2()()xSxfxdydzxyfxdzdxezdxdy的值恒为同一常数。（1）证明：对空间区域0x内的任意简单光滑闭曲面，有2()()0.xxfxdydzxyfxdzdxezdxdy（2）求函数()fx（0x）满足0lim()1xfx的表达式。4.222xdydzydzdxzdxdy，其中是222(1)(1)1(1),4zxyy取外侧。5.求32222()SxdydzydzdxzdxdyIxyz，其中S是22(2)(1)1(0)72516zxyz的上侧。三、斯托克斯公式1.设L为光滑简单闭曲线，则曲线积分[sin()]?.Lgradxyzdrdridxjdykdz2.曲线:L2221xyzL的方向与Z轴正向满足右手法则，2222xyzz?Lyxdyzdz3.空间曲线L由立方体：01,01,01xyz的表面与平面32xyz相截而成，L的方向与Z轴正向满足右手法则，求222222()()()Lzydxxzdyyxdz4.空间曲线L为球面2222xyzbx与柱面222(0)xyaxba的交线，0z，L的方向:沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边。求222222()()()Lzydxxzdyyxdz四、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件五、空间曲线积分与路径无关的条件