最优化方法报告

上海电力学院最优化方法报告院系：能机学院专业：动力机械及工程学生姓名：张焱儒14101058任课教师：薛文娟2015年6月21日1动力机械及工程简介动力机械及工程是“动力工程及工程热物理”一级学科的重点组成部分，它以工程热物理为主要理论基础，与工程力学、机械工程学、自动控制、计算机、环境科学、微电子技术等学科互相交融，密切相关。动力系统与机械建模、仿真、优化，动力机械与设备的气动热力学，燃烧理论与技术，动力机械工作过程及排放净化，动力机械的控制理论与技术，热力机械的结构分析及设计方法，新型动力机械是该学科研究的范围。动力机械及工程学科其侧重点主要以燃气轮机、汽轮机、内燃机和正在发展中的其它新型动力机械及其系统为对象，研究如何把燃料的化学能和流体动能安全、高效、低污染地转换成动力的基本规律和过程，研究转换过程中的系统和设备，以及与此相关的控制技术，同时，对于风能、太阳能的利用也积极探索，如何能高效地获得这些能源。它涉及能源、交通、电力、航空、农业、环境等与国民经济、社会发展及国防工业密切相关的领域。2问题及解决方案2.1非线性结构优化问题我所研究的方向是燃气轮机转子非线性动力学，燃气轮机转子在运转的情况下，其工作条件非常恶劣，承受高温、高压。另外燃气轮机转子的结构复杂也是一大难题，复杂的结构必然导致模型参数维数高，所以在对结构进行优化的过程非常困难，所以我们需要对其非线性特性进行优化，然而结构非线性优化的梯度计算代价太高，而且当考虑结构的动态效应时，处理时域内的函数也相当复杂。因此，利用传统的基于梯度的数值优化方法进行结构动态非线性优化是比较困难的。近年来，全局优化算法得到了快速发展，如粒子群优化算法(Particleswarmoptimization，PSO)、遗传算法(Geneticalgorithm，GA)、自适应模拟退火法(Adaptivesimulatedannealing，ASA)等。这些方法不需要进行梯度分析，具有较好的全局寻优性，一般支持并行计算。但是这些方法也有各自的不足：PSO方法搜索精度不高，不适合处理离散优化问题；GA方法效率较低，可能发生早熟收敛，且需要形成大量的种群数目和多次种群进化，计算资源消耗较大；ASA方法多次退火计算时间较长，占用大量计算资源，不适合求解设计空间平滑或局部最优解较少的问题。全局优化算法与基于梯度的优化算法相比，消耗的计算资源较大，加之结构动态非线性分析本身的计算代价很高，因此不适合求解大规模结构动态非线性优化问题。等效静载荷法(Equivalentstaticloadsmethod，ESLM)由KANG等于2001年针对动态线性优化问题而提出，从最初考虑单个时间步等效到考虑所有时间步等效，并从数学上证明了该方法解的最优性。等效静载荷法将非线性优化分为分析域和设计域：分析域进行动态非线性分析得到节点位移、加速度、应变等输出响应，设计域利用节点位移、等效静态载荷等作为输入条件进行静态线性优化，并返回其优化解作为分析域下一次分析计算的初始值。等效静载荷法利用结构线性静态优化技术求解结构动态非线性优化问题，可以看成一种基于半梯度的优化方法。与传统的基于梯度的数值优化算法和全局优化算法相比，该方法可以极大地提高优化效率，这是等效静载荷法的最大优势。当结构的非线性很显著或设计变量较多时，非线性分析与线性分析的差异将增大，相邻两次静态线性分析的设计变量相对变化值减小，优化效率降低。为提高优化效率，一个可行的方法是加大设计变量的迭代步长，但是这种方法可能导致优化不收敛。本文利用结构线性静态优化得到最优解处的梯度信息，结合最速下降法，针对大变形和多变量结构动态非线性优化问题提出基于梯度的等效静载荷法(Equivalentstaticloadsmethodbasedongradient，ESLMG)。将静态线性结构优化视为对动态非线性结构优化进行的一次梯度分析，利用该梯度信息并结合最速下降法得到设计变量迭代准则，在梯度方向上加大设计变量迭代步长，同时将更新的设计变量作为下次静态线性优化的初始值。ESLMG与ESLM相比，可以显著提高优化效率，同时保证算法的稳健性与结果的可靠性。2.11结构动态非线性优化数学模型mkljtttttftztzbKtztzbCtztzbMbbbtzbgtsbfqNNNNNNkUkkLNtjb...,2,1...,2,1,...,,)()())(,()())(,()())(,(0))(,(..)(min10...,,（1）式中，KM,分别为质量矩阵和刚度矩阵，均为设计变量与位移矢量)(tzN的函数；)(tzN为加速度矢量；)(tzN为速度矢量；下标N表示响应由非线性分析获得。式(1)是基于有限元法的结构动态非线性分析控制方程。常数q表示总时间步；l与m分别表示约束函数与设计变量的个数)(tf为第t个时间步的外载；kLb,和kUb,分别表示第k个设计变量的下限与上限。在第k次外层循环中，令)(kNz为非线性分析的位移响应，)(kLz为内层循环第一次线性分析的位移响应，根据等效静载荷的定义，有)()()(keqkNkLzzz（2）定义)(keqz以替代)(kLz与)(kNz，并令)1(kLz为线性优化后优化解对应的最终位移响应。值得注意的是，)1(kLz不在罅隙循环中更新，而是根据式（2）获得。非线性响应与线性响应的关系为0))(()1(,)(,)1(,)(,)1(,)(,)1(,)(,kMLkMeqkMNkMeqkMLkMeqkMNkMeqzzzzzzzz（3）式中，下标M表示位移响应发生最大约束偏差，若无约束偏差，则表示离约束边界最近的位移响应。上式表示线性分析与非线性分析的设计变量改变方向相同，且线性分析的改变量大于非线性分析的改变量。在结构优化中，这种关系是最普遍的，这就说明，线性优化的结果决定设计变量的移动方向，线性分析的约束偏差可以通过下次非线性分析得以修正。图1表示设计初始点从可行域开始到最优点的寻优过程，实线表示线性优化走向，虚线表示非线性优化走向，寻优过程沿着箭头所指方向进行。在上面条件式下，实线与虚线的斜率同号，且实线斜率绝对值大于虚线斜率绝对值。在实线与虚线交点处得到等效静载荷，线性优化从交点开始，沿着最大约束偏差减少的方向进行，直至最大约束偏差为零并更新设计变量。该过程不断循环直至达到最优点b。设计初始点始于非可行域的寻优过程与此类似。图1设计初始点始于可行域寻优过程2.1.2最速下降法的最优解条件及步骤在设计域，内层循环已经考虑了约束条件，因此外层的非线性结构优化可以视为一个无约束优化问题。设)(kd是函数f在)0()()(kkXX处的一个下降方向且满足0)()()(kTkdXf（4）从而当0充分小时)()()()()(kkkXfdXf（5）这就是极小值问题取得最优解的充分条件。特别地，令)()()(kkXfd，式（4）恒成立，取)()()1(kkkdXX（6）式（6）即为最速下降法取得最优解的条件。基于梯度等效静载荷法步骤：(1)设置初始变量和参数（循环次数：0k，设计变量：0bbk，步长和收敛参数）。(2)根据设计变量kb进行动态非线性分析。(3)计算等效静载荷。(4)根据等效静载荷求解静态线性优化问题。(5)结合最速下降法，根据梯度更新设计变量。(6)重复步骤（2）—（5）直到满足1kkbb，循环结束。图2流程图针对等效静载荷法求解大变形和多变量结构动态非线性优化问题难以收敛与效率较低的不足，结合结构静态线性优化方法与最速下降法提出一种高效的基于梯度的等效静载荷法，根据结构动态非线性分析计算得到基于节点位移等效的静态载荷，从而将结构动态非线性优化问题转化为以等效载荷及节点位移为输入条件的结构静态线性优化问题(内层循环)；利用内层循环最优解处的梯度信息，同时结合最速下降法方法更新设计变量(外层循环)；将更新的设计变量值作为下一次迭代内层循环的初始值，直到满足收敛条件为止。该方法在保证算法收敛性的前提下，提高了收敛速度。2.2时滞方程周期解的优化计算燃气轮机转子在受到非线性激励源作用下，其动力学行为较多，有转子裂纹、分岔、混沌、周期解等。要研究其行为，必须得从方程开始。而时滞微分方程是一类重要的数学模型，应用广泛，目前已有许多研究结果。如时滞微分方程的数值稳定性分析、时滞微分方程周期解的存在性、唯一性及其数值解的分析等。时滞微分方程是复杂的无穷维系统，系统的平衡点经过Hopf分岔可以产生周期解。时滞系统初值定义在一段区间上，因此需要寻找合适的初始函数定位周期解；计算复杂性较高，而高效计算时滞微分方程周期解的方法目前报道较少。时滞方程周期解的计算主要有如下几种方法：（1）通过Fourier级数逼近定位周期解；（2）通过摄动法近似计算周期解的近似解析表达式；（3）打靶法。Fourier级数方法的效率较高，但无法确定周期解的稳定性；利用摄动法近似计算周期解一般只针对具有弱非线性项的系统才有效；打靶法虽然可以通过确定Fourier乘子确定周期解的稳定性，但工作量大、效率低、目前讨论时滞微分方程周期解的研究结果较多，但大多数都是定性分析，主要目的是得到分岔周期解的分岔点、周期及用中心流形和规范性理论计算分岔周期解的稳定性。在数值计算时滞微分方程周期解的方法中，Newton-Picard法通过降低Jacobi矩阵中非零元素的个数提高计算效率。文中方法与Newton-Picard的思路不同，应用最优化方法求解时滞系统的周期解，提出了用函数拟合方法确定初始函数的方法。结果表明，与工程上常用的通过函数插值方法逼近初始函数的方法相比，此方法极大减小了计算量，提高了计算效率。考虑如下具有时滞的微分方程系统：0),()())(),(,()(xtxtxtFtx（7）其中：x是n维向量；0表示时滞；表示定义在0,上的初始函数；)(F表示n维实值向量函数。设方程（7）的解片段为),()(txxt，这里),0,())((ntRCx，其中：0；C是nR0,的连续函数Banach空间。时滞方程的初始值定义在一个初始函数0)(上，系统的周期解应满足)(Tx，这里的T是周期。为了寻找方程（7）的周期T解，先考虑Poincare映射：)(TxP（8）这里)(Tx为定义在TT,上的解片段，于是，计算时滞方程的周期解即为寻找映射（8）的固定点，使得0),(PTr。此外，时滞微分方程的周期解也由周期T决定。注意到周期解的相位漂移也会产生其他周期解，因此为了获得精确的周期，需要补充相条件0),(Ts消除由于相位漂移而产生的不确定性。根据上述分析，为了求时滞方程（7）的周期解，需要考虑如下方程：0),(0)(TsxT（9）本文将问题（9）转化为求解如下约束最优化问题：寻找初始函数和周期T，在约束条件0),(Ts下，求函数2)(Tx的最小值，即0),(..)(min2,TstsxTT（10）为了求解问题（10），定义惩罚函数：),()(),,(2TsxTJT（11）这里：为2-范数；参数称为惩罚因子，是一个较大的正常数。于是，把问题（10）转化为无约束最优化问题：),(min,TJT（12）为了寻找快速收敛的无约束最优化方法，假设TTP),(是),(TJ极小值点的近似，则根据Newton法，下一次迭代的近似解为)()(:12PJPJPP（13）这里：)(2PJ表示在近似解处的Hessen矩阵；)(PJ为梯度；而)()(:12PJPJd（14）称为Newton方向，是下一步迭代的搜索方向。方程（7）的相空间是无限维的，在时滞较大的情形下，映射（9）可能会失去紧性。因此，必须在有限维空间下考虑该系统。数值计算时滞方程周期解的第一步是