浅谈矩阵求逆的几种方法11

1浅谈矩阵求逆的几种方法庄战友（内蒙古通辽实验中学，通辽028000）摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍矩阵求逆的几种方法。Abstract:MatrixinversionisanimportantcontentsinAdvancedAlgebra.Inthispaper,IwillintroducesomemethodsofMatrixinversion.关键词：逆矩阵；初等变换；伴随矩阵；级数；特征多项式1定义法定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。例1求矩阵A=121011322的逆矩阵解：因为=0，所以A-1存在。设A-1=333231232221131211xxxxxxxxx，由定义知A-1A=I所以121011322333231232221131211xxxxxxxxx=100010001由矩阵乘法得332313322212312111231322122111332313322212312111222322322322xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx100010001由矩阵相等可解得111312111xxx654322212xxx433332313xxx故A-1=4613513412公式法定理1n阶矩阵可逆的充要条件是A≠0，而且当n(≥2)阶矩阵A为可逆矩阵时，A-1=1A*，其中A*为矩阵A的伴随矩阵。例2设A=4321aaaa,若=4321aaaa=a1a4-a2a3≠0,则存在A-1，且A-1=11324aaaa用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。3初等变换法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵nI,，然后对此矩阵施以初等行变换,若把子块A变为In,则子块In将变为A-1。即nI,初等行变换1,nI6同样也可以作2n×n矩阵nI，然后对此矩阵只施以初等列变换，即nI初等列变换1nI例3已知A=201013121，求A1解：作3×6矩阵3,I=100201010013001121初等行变换959291100313132010919492001故A1=959291313132919492利用初等变换免去计算，所以较高阶矩阵求逆常用此法。4Gauss-Jordan（高斯---约当）法由定义A-1A=I，设Y=AX（Y，X均为n维向量），则X=A-1Y，若将Y=AX改写成X=BY，则A-1=B。具体方法如下：写出Y=AX的矩阵形式nyyy...21=nnnnnnaaaaaaaaa.....................212222111211nxxx...21由矩阵乘法写成方程形式nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222221212121111经消元后将上式转化为如下形式nnnnnnnnnnxbxbxbyxbxbxbyxbxbxby22112222221212121111即X=BY所以A1=B5广义的行列初等变换法此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化。例4设r+s阶矩阵A=CODB，其中B，C是r,s阶可逆矩阵则A1=111CODCBB证明：（I）用广义的初等行变换nIA,=srICIDB000初等变换1111COIODCBBOIsr由此得证.（II）用广义的初等列变换法nIA=srIOOICODB初等变换111COOBIODCIsr7初等变换1111CODCBBIOOIsr由此得证。6分块矩阵的求法定理[1]2：设矩阵A是一个满秩矩阵，若A中存在r（1rn）阶非零主子式，则一定可以分解成一个下三角形分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积A=LU，并且A-1=L-1U-1其中L=NMOI1,U=21211IOAA例5已知:A=6201111121324321,求A1解:因为二阶主子式32210将A分块为A=22211211AAAA其中A11=3221A12=2143A21=0111A22=6211因为A111=1223根据上述方法五得U1=212111111IOAAA=1000010065128723[1]陈立新天津农学院学报第二卷第四期1995.12由于[A21A22]U1=620111111000010065118723=25231311所以L=2523131100100001故有A=LU=25231311001000011000010021324321因为U1=100001007347297372747372711L=3514120100100001所以A1=L1U1=771767117271171172717347297372747372717和化积法有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵,此时可将A+B直接化为(A+B)C=I,由此有A+B非奇异,且(A+B)1=C;或将矩阵之和8A+B表示为若干已知的非奇异阵之积,并可得其逆矩阵例6证明若AK=0,则I-A是非奇异的,并求(I-A)1证明:(I-A)(I+A+A2++A1K)=I(I-A)是非奇异的,且(I-A)1=I+A+A2++A1K例7设A为n阶矩阵，且满足05322，证明A是可逆矩阵，并求A1。证明：2A2-3A+5I=02A2-3A=-5I-52A2+53A=IA（-52A+53I）=IA可逆，且535218利用多项式法例8已知n阶可逆矩阵的特征多项式是f()=AI=niiiia0,求A1。解：由A可逆可得A的特征多项式是f（）的常数项a00，并由哈密特---凯莱定理知f(A)=0,即anAn++a1A+a0I=0,故A（-01a(naA1n++a1I)）=I,于是A1=-01a（anA1n++a1I）.当已知可逆的特征多项式时，利用以上方法很容易找到A1。下面我们看一个具体例子。例9若A=100100121bb，则A的特征多项式是f()=(3-32+3-1)，于是就A1=A2-3A+3I即A1=020120012211bbbb+33003300321bb+300030003=0010012211bbbb9矩阵函数的级数展开法例10设矩阵B的特征根的绝对值小于1，且A=I+B，则A的逆矩阵存在，且A1=I-B+B2+B3-B4证明：因I与B可逆，令Sn=I-B+B2-B3++n1Bn，于是Sn是与A之积等于1+（-1）nB1n所以nlimSnA（1+（-1）nB1n）=I，由于可逆矩阵的逆存在唯一性，可知A1=nlimSn。参考文献1殷宗山，河北工程技术高等专科学校学报，1995.1.22李桂荣，德州高等专科学校学报，2000.16.43龚爱玲，天津理工学院学报，1995.9.34陈立新，天津农学院学报，1996.12.4