浅谈立体几何中空间角和距离问题

yzNBCC11B11AA11Mx浅谈空间角、距离--向量解法随着高考对立体几何考查力度的加大，立体几何中空间向量的运用，已成为解答立体几何问题的通性、通法．利用空间向量来解答问题，能将空间抽象思维转化为坐标运算问题，从而降低了对空间想象能力的要求．以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是不少立体几何题的主要特征。用空间向量解立体几何问题，较为程序化，思路自然且较少添加辅助线，更易于被学生接受。1.空间中夹角的向量求法在立体几何中，空间的角有：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，平面和平面所成的角即二面角。俗称线线角，线面角、面面角。我们经常遇到求角的问题，这个问题一般都是转化为直线与直线的角来计算，总是先定位，后算其值。但有时定位非常麻烦，难点在于不知道所求的角在哪儿?辅助线怎么作?灵活运用向量法，这些问题就迎刃而解，下面通过几个例子来说明向量在求角中的应用。1.1.异面直线夹角的向量求法异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算，设异面直线nm,所成的角为，则等于nm,的方向向量ba,所成的角或其补角的大小，则||||||cosbaba。例1（2000年高考新课程卷试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点。（1）求BN的长；（2）求11,cosCBBA的值。解：以C为原点建立如图空间直角坐标系，（1）B（0，1，0），N（1，0，1），∴3)01()10()01(||222BN（2）)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11BCA∴5||,6||11CBBA，且3)2,1,0()2,0,1(11CBBA，∴1030||||111111,cosCBBACBBACBBA1.2.直线与平面所成的角直线l与平面成角，a是直线l的方向向量，b是平面的一个法向量，则|||||||,cos|sinbababa。1.3.平面与平面所成的角平面与平面间夹角的计算可以转化平面法向量间夹角的计算，设平面与平面所成的角为，则等于平面与平面的法向量ba,所成的角或其补角的大小，则||||||,cosbababa。=ba,或=-ba,。例2、在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中，FE,分别是BC、11DA的中点，（1）求直线AD与平面EDFB1所成的角；（2）求平面EDF与平面ABCD所成的角。解：(1)先求平面EDFB1的法向量。设zyn,,1，由aaEBaaED,2,0,0,2,1，∴12001zyEBnEDn，∴1,2,1n。又0,,0aDA，∴33|||||||,cos|sinDAnDAnDAn。故AD与平面EDFB1所成角为33arccos。(2)∵0,2,,,0,,,0,0,0,,0,0,0,011aaEaaBaAaDA，∴平面ABCD的法向量为),0,0(1aAA。又（2）知平面EDFB1的法向量1,2,1n，∴66||||||,cos111AAnAAnAAn。所以平面EDFB1与平面ABCD所成的角为66arccos。2.空间中距离的向量求法2.1异面直线的距离异面直线间的距离用向量的方法求解只需记住一个公式即可：设ba,为异面直线，则ba,间的距离为：nnBAd||，其中n与ba,均垂直，BA,分别为两异面直线上的任意两点。例3、如图4，在棱长为4的正方体1111DCBAABCD中，点P在棱1CC上，且CPCC41。求异面直线AP与BD1的距离。解：如图建立空间坐标系，依题意有4,0,0,1,4,0,0,4,4,0,0,41DPBA。设zyxn,,为AP与1BD的公垂线的一个方向向量，)4,4,4(),1,4,4(1BDAP,)0,4,0(AB。则0444044001zyxzyxBDnAPn。取3y，则8,5zx，∴8,3,5n。则异面直线AP与BD1的距离为726||nnABd2.2.点到平面的距离点到平面的距离用向量的方法求解同样也只需记住一个公式即可：已知点A是平面外的一个点,点B是平面内的一个点，n为平面的法向量，则A到平面的距离：nnBAd||例4、四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a_B1_C1_A1_D_C_B_P_A_x_y_D1_z的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．求点D到平面PAB的距离．解：如图取DC的中点O，连结PO，∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC又∵面PDC⊥面ABCD∴PO⊥面ABCD∴以O为坐标原点OC、OP所在直线为y轴，z轴建立如图所示直角坐标系，则P(0,0，32a)，A(a，2a,0)，B(a，2a,0)，C(0，2a,0)，D(0，2a,0)．∵E为PC的中点，∴E(0，4a，34a)PA＝(a，－a2，－32a)，AB＝(0，a,0)，DA＝(0，a,0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥PA，n⊥AB＝(0，a,0)，∴n·PA＝xa－a2y－32az＝0①n·AB＝ya＝0②由②得y＝0，代入①得xa－32az＝0令x＝3，则z＝2，∴n＝(3，0,2)．则D到平面PAB的距离dDA在n上射影的绝对值.DAndn＝|3a|7＝217a，即点D到平面PAB的距离等于217a.利用空间自由向量求解空间中点、线、面有关的角，距离、线段长、共点、共线等问题，关键是恰当建立坐标系，将相关向量用选取的基向量线性表示，将所求问题转化为向量的基本运算，通过向量相等、平行、内积及内积的几何意义等，来处理立体几何中的问题.向量方法的使用，使立体几何中不少问题的解决程序化了，从而开拓了立体几何解决问题的思想方法，降低了立体几何学习的难度。