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浅谈解析几何中的“点差法”高二(七班)第一学习小组易正贵整理2013年5月解析几何在高考中占有重要地位,一般放在试题倒数第二题,有时也成为压轴题。在高考中,绝大多数学生只能完成第1问,第2问,因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中,要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法,这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择,这样才能事半功倍。下面谈谈什么是“点差法”?什么情况下用“点差法”?若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为),(11yxM、),(22yxN,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦MN的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。二次曲线122nymx上两点NM,,设),,(),,(2211yxNyxMMN的中点),(00yxQ,MN的斜率为k。)2(1)1(122222121nymxnymx由(1)-(2)得,0))(())((21212121yyyynxxxxm又∵)(,2,2212121021021xxkxxyyyyyxxx∴000nkymx这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标...........之间关系式。即已知弦的中点,可求弦的斜率;已知斜率,可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时,就要想到“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、已知抛物线xy42,过点)4,3(P的直线l交抛物线于A、B两点且点P平分AB,求直线l的方程。分析:此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中点坐标,故采用“点差法”。解:设),,(),,(2211yxByxA则2184)(4))((44212121222121ABkxxyyyyxyxy从而直线l的方程为052yx练习1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程。2、已知ABC的三个顶点都在抛物线232yx上,其中2,8A,且ABC的重心G是抛物线的焦点,求直线BC的方程.二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例2、已知椭圆C:13422yx,直线l过点P(1,1)交椭圆C于A、B两点,求AB中点M的轨迹方程。分析:此题涉及到弦AB的中点坐标,且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法”。解:设),,(),,(2211yxByxA),(yxM,则124312432222121yxyx0))((4))((321212121yyyyxxxx0)1(4)1(3011430432121yyxxxyyxxxyyyx∵点P在椭圆内部,直线l与椭圆恒有两个交点,∴点M的轨迹方程为:0)1(4)1(3yyxx三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例3、已知椭圆13422yx,试确定的m取值范围,使得对于直线mxy4,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解:设),(111yxP,),(222yxP为椭圆上关于直线mxy4的对称两点,),(yxP为弦21PP的中点,则12432121yx,12432222yx两式相减得,0)(4)(322212221yyxx即0))((4))((321212121yyyyxxxxxxx221,yyy221,412121xxyyxy3这就是弦21PP中点P轨迹方程。它与直线mxy4的交点必须在椭圆内联立mxyxy43,得mymx3则必须满足22433xy,即22433)3(mm,解得1313213132m练习、若抛物线2:Cyx上存在不同的两点关于直线:3lymx对称,求实数xyDEFOm的取值范围.四、证明定值问题例4已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦,P是AB的中点,O为椭圆的中心.求证:直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设1122,,,AxyBxy且12xx,则2211221xyab,(1)2222221xyab,(2)12得:2222121222xxyyab,2121221212bxxyyxxayy,2121221212ABbxxyykxxayy.又1212OPyykxx,221ABOPbkka,22ABOPbkka(定值).五、求参数的取值范围例5、(稳派2013年5月高二年级模底考试理科第20题)如图,在DEFRt中,25||,2||,90EDEFEFDEF,椭圆C:12222byax,以E、F为焦点且过点D,点O为坐标原点。(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若点K满足.31EDOK,问是否存在不平行于EF的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N且||||NKMK,若存在,求出直线l的斜率的取值范围,若不存在,说明理由。解:(Ⅰ)略:13422yx,)21,0(K(Ⅱ)分析:∵||||NKMK,设MN的中点为H,则MNKH,此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率,故用“点差法”设),(),,(),,(002211yxHyxNyxM,直线l的斜率为k()0k,则12432121yx①12432222yx②由①-②得:0430))((4))((30021212121kyxyyyyxxxx又∵||||NKMK,则MNKH,∴12100kxy,从而解得23,200ykx,点),(00yxH在椭圆内,则21214113422020kkyx且0k
本文标题:浅谈解析几何中的点差法
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