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论文分类号:O151.21密级:无浅谈逆矩阵的求法学院、专业:数学学院数学与应用数学学生姓名:赵殿钰年级班:2007级3班指导教师:范钦杰(教授)2011年4月15日吉林师范大学毕业论文(设计)浅谈逆矩阵的求法赵殿钰(吉林师范大学数学学院2007级3班吉林四平136000)指导教师:范钦杰(教授)摘要:为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.关键字:逆阵法;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵中图分类号:O151.21OntheInverseMatrixMethodZhaoDian-yu(Class3Grade2007,DepartmentofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin136000)DirectiveTeacher:FanQin-jie(professor)Abstract:Inordertomoreeasilysolvetheinverseofamatrix,thismatrixaccordingtothedifferentcharacteristicsofthedifferentintroducedseveralsimpleinversematrixmethod.thedefinitionoflaw,withthematrixmethod,elementarytransformation,blockmatrixmethod,solveequationsbytheuseofCramer'sruletosolvethedeterminantmethod,identicaldeformationmethod,theuseofHamiton_CaleyTheorem,splicingandothermethodstofindnewmatrixinverse,andpartofabriefdemonstration.Keywords:theinverseofamatri;blockmatrix;elementarytransformation;withthematrixCLCNO:O151.2111、逆矩阵的概念定义:设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A-1.2、矩阵可逆的条件(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0(也即r(A)=n);(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵;(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积;(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零;(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA=E),则A可逆,且A-1=B.3、逆矩阵的性质设A,B是n阶可逆矩阵,则(1)(A-1)-1=A;(2)若k≠0,则kA可逆,且(kA)-1=1kA-1;(3)AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1;(4)AT可逆,且(AT)-1=(A-1)T;(5)Ak可逆,且(Ak)-1=(A-1)k;(6)|A-1|=|A|-1;(7)如果A是m×n矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).4、求矩阵逆的方法方法1定义法:设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A-1.例1:设A为n阶矩阵,且满足22A-3A+5E=0,求A-1.【解】2222-12A-3A+5E=02A-3A=-5E23-A-A=E552323A(-A-E)=-A-E=E555523AA=-A-E55可逆且方法2伴随矩阵法:A-1=1|A|A*.定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且11211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵,记作A*,于是有A-1=1|A|A*.注①对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=(Aji)n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aaAaa,其伴随矩阵22122111*aaAaa,即伴随矩阵具有“主对角元素互换,次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵.例2:已知101A=210325,求A-1.【解】∵|A|=2≠0∴A可逆.由已知得111213212223313233A=-5,A=10,A=7A=2,A=-2,A=-2A=-1,A=2,A=13A-1=1|A|A*=5115212211022511272171122方法3初等变换法:1AEEA初等行变换注①对于阶数较高(n≥3)的矩阵,采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换.②也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时,可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法,仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3::用初等行变换求矩阵231A013125的逆矩阵.【解】231100125001125001AE01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631301012211100166341113410066313A010122111001663故方法4用分块矩阵求逆矩阵:设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵,则:1111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO例4:已知0052002112001100A,求A-1.【解】将A分块如下:120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO方法5解方程组求逆矩阵:根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,5此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5:求1000120021301214A的逆矩阵.【解】设21131324142431000100210314XAXXXXX,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,再求3142X,X,最后求41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到414243433132434142434241424343110X0X3X0;,X;412211X1X100;,X;32250X2X1X0;,X;44111X1X2X0;,X48解得解得解得解得。于是,所求的逆矩阵为:110001100221110263151184124A方法6用克莱姆法则求解:若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式||0ijnDa,6则此方程组有唯一的一组解1212,,,nnDDDxxxDDD.这里iD是将D中的第i列1,,iniaa换成1,,nbb得到的行列式.定理1若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).定理2两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克莱姆法则可得唯一解:εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.例6:求可逆矩阵121310102A的逆矩阵.【解】矩阵A的行向量为123,,,由标准基123,,表示为:1123212313232解以123,,为未知量的方程组得:1123212331232419992113331259991241999211333125999A该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:7由:1123212313232得:123112213323令123121310102AA是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对A施行矩阵的行的初等变换得:123123123241999100211010333001125999A1241999211333125999A方法7用
本文标题:浅谈逆矩阵的求法
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