测量误差的合成和分配

2.4测量误差的合成和分配误差合成理论研究在间接测量中，如何根据若干个直接测量量的误差求总测量误差的问题；误差分配理论则研究在给定系统总误差的条件下，如何将总误差分配给各测量分项，即如何对各分项误差提出要求，以达到系统测量精度要求。1．误差传递公式设一个被测量由两个分项、，其函数表达式为则绝对误差传递公式为式中——被测量的绝对误差；——直接测量量的绝对误差；——直接测量量的绝对误差。y1x2x21,xxfy2211xxfxxfyyy1x2x1x2x2.4.1测量误差的合成(2-18)(2-19)相对误差传递公式为式中——被测量的相对误差；——直接测量的绝对误差；——直接测量的绝对误差。2211lnlnxxfxxfyy1x2xy1x2x(2-20)同理，当被测量由m个分项合成时,误差传递公式为式中——第i个测量分项的测量值；——直接测量量的绝对误差。一般，若的函数关系为和、差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。imiixxfy1miiiyxxf1lnixixmxxxfy,,21ixy(2-21)(2-22)•例1：用间接测量法测量电阻消耗的功率，若电阻、电压和电流测量相对误差分别为、和，问所求功率的相对误差为多少？•例2：用伏安法测电阻时，若测量电压和电流的相对误差为、，试问所求电阻的相对误差为多少？若为±4%，为±3%，为多少？UUIIRRuiuiR2．系统误差的合成若测量中各种随机误差可以忽略，则总和的系统误差可由各分项系统误差合成。式中——系统误差的总和；——直接测量各分项的系统误差。jmjjyxf1yj(2-23)3．随机误差的合成若各分项的系统误差为零，则同理可求总合的随机误差式中——随机误差的总和；——直接测量各分项的随机误差。jmjjyxfˆˆ1yˆjˆ(2-24)已知各分项方差，求总合方差的公式为标准差的计算公式为jmjjxxfx1222ˆˆjmjjxxfxˆˆ12(2-25)(2-26)1．等准确度分配当总误差中各分项性质相同（量纲相同）、大小相近时，采用等准确度分法，即分配给各分项的误差彼此相同。若总误差为，各分项的误差为；标准差为，令；，则分配给各项的误差为ym，，21mxxxˆˆˆ21、、、m21ˆˆˆˆ21mxxxmjxfmjjyj3211，，mjjjxfyx12ˆˆ2.4.2测量误差的分配(2-27)(2-28)•例：有一个电源变压器，已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程为500V的交流电压表测量次级线圈的总电压，要求相对误差小于±2%，问应该选用哪个级别的电压表？2．等作用分配当分项误差性质不同时，采用等作用分配方法。在这种分配方式中，分配给各分项的误差在数值上不一定相等，但它们对测量误差总和的作用是相同的。对于系统误差，在式（2-23）中，令。则分配给各分项的误差为mmfxfxf2211jyjxfm(2-29)对于随机误差，在式（2-25）中，令，则分配给各分项的误差为mmxxfxxfxxf2222221221ˆˆˆjjxfmyxˆˆ(2-30)•例：间接测量电阻上消耗的功率，已测出电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW，若要求功率测量的系统误差不大于5%，随机误差的标准差不大于5mW，问电压和电流的测量误差应在多大范围内，才能保证上述功率误差的要求。3．抓住主要误差项进行分配当分项误差中某项误差特别大时，就可以不考虑次要分项的误差，或酌情分给次要分项少量误差比例，确保主要项的误差小于总合的误差。若主要误差项有若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，考虑采用等准确度或等作用分配原则。2.5测量结果的描述与处理对测量结果可采用正确度，精密度和准确度三种评价方法。1．正确度表示测量结果中系统误差大小程度。系统误差愈大，正确度愈低；系统误差愈小，正确度愈高。2.5.1测量结果的评价2．精密度表示测量结果中随机误差的大小程度，也简称为精度。随机误差的大小可用测量值的标准偏差来衡量,越小，测量值越集中，测量的精密度越高；反之，标准确偏差越大，测量值越分散，测量精密度越低。xxx3．准确度是测量结果系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度。在一定的测量条件下，总是力求测量结果尽量接近真值，即力求准确度高。图2.3测量结果的图形评价（a）正确度高、精密度低©精密度、正确度均高（b）精密度高、正确度低1.误差位对齐法误差位对齐法采用的方法是测量误差的小数点后面有几位，则测量数据的小数点后面也取几位。2.5.2测量数据的整理•例：用一块0.5级的电压表测量电压，当量程为10V时，指针落在大于8.5V的附近区域，这时测量数据应取几位？•例：用一块0.5级电压表的100V量程进行测量，指示值为85.35V，试确定有效数字位数。2．有效数字表示法（1）有效数字所谓有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字算起到含有存疑数字为止的各位数字。一般数据的最后一位是欠准确度的估计字，称为存疑数字。（2）数字的舍入规则（1）小于5舍去——舍去部分的数值小于所保留末位的0.5个单位时，末位不变。（2）大于5进1——舍去部分的数值大于所保留末位的0.5个单位时，末位增1。（3）等于5时，取偶数——舍去部分的数值恰好等于所保留末位的0.5个单位时，则当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，末位增1（将末位凑成偶数）。•例：将下列数据舍入到小数第二位。–12.4344→12.4363.73501→63.74–0.69499→0.6925.3250→25.32–17.6955→17.70123.1150→123.12•需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。•在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。常用被测量的量值和它的不确定度共同表示测量结果，表达式为式中——测量值的算术平均值；——被测量的不确定度，一般为在实际应用中，常以绝对误差的形式表示。xxAxx3xSxxA2.5.3测量结果的表示方法(2-31)(2-32)1．将测量数据按先后次序列表。2．用公式求算术平均值。3．用公式求每一次测量值的剩余误差。4．用公式计算标准差的估计值。niixnx1xxiiS2.5.4等精度测量结果的数据处理2111niiSvn5.按莱特准则判断粗大误差，即根据剔除坏值。6.重新计算和，再判别有无粗大误差。7.用公式求算术平均值的标准差估计值。8.用公式求算术平均值的不确定度。9.写出测量结果的表达式。xSSn3xxSxxASx=3iixxS实验曲线的绘制，通常采用平滑法和分组平均法。1．平滑法作图如图2.4（a）所示，先将实验数据标在直角坐标上，再将各点用折线依次相连，然后从起点到终点作一条平滑曲线，使其满足以下等量关系式中——曲线以下的面积和；——曲线以上的面积和。),(iiyx),(iiyxiissisis2.5.5实验曲线的绘制(2-33)平滑法作图示意is0xy0xyisisisisisisis如图2.4(b)，将所有实验数据标在坐标上，先标出相邻的两个数据点连线的中点，再将所有中点连成一条光滑的曲线；或用3个数据点连线的重心点连成一条光滑曲线。由于取中点（或重心点）的过程就是取平均值的过程，所以减小了随机误差的影响。),(iiyx2．分组平均法分组平均法作图示意0xy2.6最佳测量方案选择最佳测量方案是使总误差为最小的测量方案，是使系统误差和随机误差都减少到最小的测量方案。即做到即上述和式中每一项都达到最小时，总误差就会最小。min1jmjjyxfmin)(ˆˆ2122jmjjxxfy）（•例：测量电阻R消耗的功率时，可间接测量电阻值R，电阻上的压降U，流过电阻的电流I，设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为γR=±2%，γU=±2%，γI=±3%，试确定测量的最佳方案。本章小结由于仪器误差、人身误差、方法误差和环境误差的原因，所有的测量结果与真值都会有误差。误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。绝对误差仅能说明测量结果偏离实际值的情况；相对误差可以说明测量的准确度，可分为实际相对误差、示值相对误差、满度相对误差。根据测量误差的性质，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。在实际测量时应根据误差性质进行判断和处理。粗大误差明显偏离测量结果，是不允许的，可采用莱特准则予以剔出。系统误差反映了测量的正确度，一般采用加修正值或典型的电路技术来消除或减小。随机误差反映了测量的精密度，体现了各种随机变量对测量结果的影响，是不可避免的，常采用多次等精度测量来减小随机误差的影响。测量时应兼顾误差大小、测量的难易程度及其他因素选择最佳测量方案。