浙教版第二章一元二次方程

1第二章一元二次方程本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用，利用因式分解法将一元二次方程转化为两条一元一次方程；从数的开平方的知识出发，直接讲开平方法，然后深化完全平方公式介绍配方法和公式法。最后，通过建立方程模型来解决实际问题。教学目标:1、使学生掌握一元二次方程的定义及其解法；2、会列一元二次方程解决实际问题；3、在探究一元二次方程解法的过程中，逐渐培养学生分析问题的能力；4、在列方程解应用题中，逐渐培养学生的方程思想。重点与难点:重点：正确理解一元二次方程的解法及其应用。难点：利用一元二次方程的知识点解决实际问题和数学问题。【备注】本章体现多种数学思想，尤其是方程思想、化归思想。教学过程:一、一元二次方程的定义及其解法1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是。其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数。【注意】相同点：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。2.一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2aax或)0()(2aabx的一元二次方程，就可用直接开平方的方法。（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()xmn的形式，⑤如果是非负数，即0n，就可以用直接开平方求出方程的解。如果n＜0，则原方程无解。（3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca的求根公式是221,24(40)2bbacxbaca。2（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0a。（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式。（3）用配方法时二次项系数要化1。（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负。【典例精析】例1下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2＋bx+c=0B.k2x＋5k+6=0C.3x2＋2x+x1=0D.(k2＋3)x2＋2x+1=0分析：根据一元二次方程的概念进行解答。答案：D例2判断题：方程的二次项系数为３，一次项系５。（）分析：要确定一元二次方程的各项及其系数，首先必须把方程化为一般化形式，然后再进行确定。因为化为一般化形式后是23x－５ｘ－２＝０，故二次项系数是３没错，但一次项系数是－５，而不是５，故判断结果为错。例3解方程：02323xxx分析：本题不是二元一次方程，但经过提公因式变形后，可利用一元二次方程的知识求解．解：原方程变形得：0)23(2xxx，02)1(xxx．∴方程的根为：01x、12x、23x．【中考演练】1．方程(5x－2)(x－7)＝8(x－7)的解是。2．已知2是关于x的方程02232ax的一个解，则2a－1的值是。3．关于y的方程22320ypyp有一个根是2y，则关于x的方程23xp的解为。4．下列方程中是一元二次方程的有（）3①9x2=7x②32y=8③3y(y-1)=y(3y+1)④x2-2y+6=0⑤2(x2+1)=10⑥24x-x-1=0A．①②③B.①③⑤C.①②⑤D.①⑤⑥5.一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为（）A．3，－10，－4B.3，－12，－2C.8，－10，－2D.8，－12，46．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（）A.－1B.1C.－2D.27．解方程(1)x2－5x－6＝0(2)3x2－4x－1＝0（用公式法）(3)4x2－8x＋1＝0（用配方法）（4）x222x+1=0参考答案：1.x=2或x=7；2.5；3.1x；4.C；5.A；6.B;7.(1)32xx或；（2）372x；（3）232x；（4）12x二、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程002acbxax的根的判别式为。（1）acb420一元二次方程002acbxax有两个实数根，即2,1x。4（2）acb42=0一元二次方程有相等的实数根，即21xx。（3）acb420一元二次方程002acbxax实数根。2．一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程20(0)axbxca有两根分别为1x，2x，那么21xx，21xx。3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件。（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式042acb；②二次项系数0a，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系。【典例精析】例1关于x的方程10422kxx的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。分析：设另一根为1x，由根与系数的关系可建立关于1x和k的方程组，解之即得。答案：25，－1例2已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。分析：有实数根，则△≥0，且16212221xxxx，联立解得m的值。解：依题意有：0)5(4)2(4165)2(22221222122121mmxxxxmxxmxx由①②③解得：1m或15m，又由④可知m≥49∴15m舍去，故1m例31x、2x是方程05322xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221xx（2）21xx（3）2222133xxx5分析：灵活运用韦达定理。解：（1）2221xx＝212212)(xxxx＝417（2）21xx＝212214)(xxxx＝213（3）原式＝)32()(2222221xxxx＝5417＝4112【中考演练】1.设1x、2x是方程0242xx的两根，则①2111xx＝；②21xx＝；③)1)(1(21xx＝。2.以方程0422xx的两根的倒数为根的一元二次方程是。3.已知方程0452mxx的两实根差的平方为144，则m＝。4.已知方程032mxx的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是。5.反比例函数xky的图象经过点P（a、b），其中a、b是一元二次方程042kxx的两根，那么点P的坐标是。6.已知1x、2x是方程0132xx的两根，则11124221xx的值为。7.如果方程12mxx的两个实根互为相反数，那么m的值为（）A、0B、－1C、1D、±18.已知两圆的半径恰为方程02522xx的两根，圆心距为3，则这两个圆的外公切线有（）A、0条B、1条C、2条D、3条9.已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长217，两直角边的长分别是关于x的方程：09)21(32mxmx的两个根，则△ABC的内切圆面积是（）A、4B、23C、47D、49[来育网10.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：03)12(22mxmx的根，则m的值为（）[来源:21世纪教育网]A、－3B、5C、5或－3D、－5或3611.已知关于x的方程03)1(222mxmx（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x、2x是方程的两根，且012)()(21221xxxx，求m的值。12.已知关于x的方程01)12(2kxkkx只有整数根，且关于y的一元二次方程03)1(2myyk的两个实数根为1y、2y。（1）当k为整数时，确定k的值。（2）在（1）的条件下，若m＝2，求2221yy的值。参考答案：1、①2；②22；③7；2、0242xx；3、±18；4、2，2；5、（－2，－2）；6、43；7-10、ACDA；11、（1）2m；（2）1m12、（1）k＝0，－1；（2）当k＝0时，132221yy当1k时，4172221yy。三、一元二次方程的应用我们已经经历了三次列方程解应用题：①列一元一次方程解应用题；②列二元一次方程组解应用题；③列分式方程解应用题.在思想方法和解题步骤上有许多共同之处.1、列方程解应用题的基本步骤：①审（审题）；②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；⑤列（列方程）；⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）。2、基本问题类型：①面积问题；②增长率问题；③利润问题。3．易错知识辨析：7（1）要注意各类应用题中常用的等量关系，如面积问题中有关面积的公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。（2）注意语言与代数表达式的互化，要从语言叙述中写出等量关系。（3）注意单位问题：①在设未知数必须写清单位，用对单位；②在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。【典例精析】例1用12m长的一根铁丝围成矩形。（1）如果矩形的面积为52m，那么此时矩形的长是多少？如果面积是102m呢？（2）能围成的矩形的最大面积是多少？分析：关于一元二次方程的面积问题，首先根据等量关系列出方程，其次确定方程的解，再根据方程根的情况确定面积是否存在，方程有解则矩形存在，无解则矩形不存在，这种解题方法在其他存在性问题中也经常用到。解设矩形的宽为xm，则长为（6－x）m。（1）根据题意得x（6－x）=5，即0562xx，解得舍去）(5,121xx∴当矩形的宽为1m，长为5m时，面积为52m。同样当面积为102m时，x（6－x）=10，即01062xx此时△=－4＜0，故此方程无实数根，这样的矩形不存在。（2）设围成的矩形面积为k，则有x（6－x）=k，即062kxx，要使该方程有解，必须△≥0，即04)6(2k，即k≤9。∴最大的k只能是9，即能围成的矩形的最大面积为92m，此时x=3,6－x=3,这时能围成的图形是正方形。方法总结当周长一定时，围成的矩形中正方形面积最大，利用一元二次方程根的判别式可确定字母的最值问题。例2随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆。（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆。分析：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底8该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解。（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，