有限元第六章

第六章非协调单元有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。这些结论对四阶问题同样适用。§6-1Wilson非协调元图６-１ηêξ４３２１（-1,1）（1,1）（1,-1）（-1,-1）1.母体单元形函数母体单元ê：边长为２的正方形,自然坐标：ξ、η取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。形函数）　（4~1)1)(1(41),(iNiii2.实际单元eeeFˆ：　4141,iiiiiiyNyxNx3.单元内假设位移场)1()1(),()1()1(),(242341222141iiiiiivNvuNu(6-1-1)y,vx,u0e4321(x4,y4)(x3,y3)(x2,y2)(x1,y1)图６－２单元内的位移场精度有所改善，二次函数同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：)1()1()1()1(24232221、、、（2）补充这些项后，单元内的位移场是ξ，η的完全二次多项式。当实际单元e为矩形时，单元内位移场将是x、y的完全二次多项式。这四项有如下特性：（1）不影响节点处的位移值，故称αl为非节点自由度或单元的“内自由度”。在计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力做功（为了将边界力化为等效节点力）时不计这些位移。即在计算边界外力做功时只计Niui、Nivi各项。y,vx,u0e4321图６－3ηêξ４３２１（ξ,-1）ＭMˆu2v2v1u1（3）协调性分析沿单元的一边，例如节点１、２所在的边，η＝－１。u,v是ξ的二次函数，完全被u1,v1,α1,和u2,v2,α3所决定。但由于不同单元的α1~α4彼此独立，故不能保证单元之间位移的协调性。能否保证收敛到真实解？平面应力问题为例。设节点总数为n，单元总数为m。则总的自由度可区分为：）　　（nivuii~1,）　（、、、４３２１mijjjj~1)()()()(SmjejmjejhWWV11Ｐ(6-1-2)系统的总势能定义为节点自由度单元内自由度jVej,　号单元的变形能jWej,　号单元体积力做功SW4141iiiiiivNuN、　为各边界外力在位移上做的功之和不计算边界力在内自由度上的功！））　　　）　　　　4~1(~1(0;~1(0,0)(lmjnivujlhPihPihP(6-1-3)由方程组：求得的ui,vi,αl(j)以及由此求得的应力做为非协调单元的有限元解。在（6-1-3）中共有2n+4m个未知量。比四节点等参元多了４m个未知量。但是α1(j)、α2(j)、α3(j)、α4(j)仅属于第j号单元，故有）　　　4~1(0)()()(lWVjlejjlejjlhP(6-1-4)在单元分析时可以先消去αl(j)（这一步骤称为静凝聚），只剩下ui,vi进入总体平衡方程。有限元解：４.单元分析静凝聚IEuuNNNNNNNNvu)1()1(00000000)1()1(0000224321224321TEvuvuvuvuu44332211单元的外自由度：TIu4321单元的内自由度：（6-1-1）所定义的单元位移场：（1）几何矩阵应变IExyyxuuBvuxyyx00Iforinternal,Eforexternal几何矩阵)1()1(00000000)1()1(000000224321224321NNNNNNNNxyyxB(6-1-6)（2）单元刚度矩阵和体积力载荷向量dtdJBEBtdxdyBEBkTTedet1111(6-1-7)单元变形能IEIIIEEIEETIEIETIEeuukkkkuuuukuuV2121由于[k]为对称阵，必有EITIEkk(6-1-8)IIITIEIETIEITEIIITIIEITEEIETIEITEeukuukuukuukuukuukuukuV2121)(21(6-1-9)IETIEyxTyxTeerruuddJtffvutdffvuWdet1111Tyxff,体积力做功(6-1-10)ddJtffNNNNNNNNrryxTIEdet)1()1(00000000)1()1(00001111224321224321(6-1-11)（3）静凝聚TIu43210IIIIEIErukukIIIEIEIIIrkukku11(6-1-12)内自由度：略去（6-1-4）中的单元编号j，以（6-1-9），（6-1-10）代入，（变形能对内部自由度取偏导）将（6-1-12）代入（6-1-9）和（6-1-10）有：IIIIEEEeerkrruukuWV1TTT21~~21(6-1-13)式（6-1-13）右端第三项与{uE}无关，不影响πPh取驻值。第一项为{uE}的二次型，为凝聚掉内自由度后的单元刚度矩阵。为凝聚内自由度后的载荷向量。k~r~）　　　4~1(0)()()(lWVjlejjlejjlhPIIIEIEIEIIEIIrkkrrkkkkk11~~(6-1-14)(6-1-15)（４）边界外载荷的等效节点力TyxpptdsppNNNNNNNNryxTssP4321432100000000(6-1-16)５.组装及求解总体方程FUK具体作法与协调单元作法相同静凝聚与非协调元是两个不同的概念。静凝聚的目的是消去内自由度，以减少总体平衡方程的规模。不论是协调元还是非协调元，只要存在内自由度，都可以在单元分析过程中将内自由度凝聚掉；不进行静凝聚，除了增加解总体方程的工作量外不会有其它任何（好的或不好的）影响。静凝聚方法也广泛地用于组合单元和子结构，是一项很有价值的技术。§6-2非协调元的基本理论（i）分单元假设的位移场（即试探函数）不完全满足协调条件；（ii）形式上套用了协调元的具体作法。至于能否收敛到真实解，到目前为止并不清楚。实际情况是：有时能保证收敛性，有时则不能。（在讨论非协调元的数学理论时，为了简单，以泊松方程为例,基本未知量只有一个，变形能的表达式也比较简单）1.有限元空间Wilson非协调元的基函数中与四节点等参元的基函数相同者记作φi(i=1~n)。与单元内自由度有关的形函数记作ψl(l=1~2m)。其中φi满足协调条件。Ψl不满足协调条件，穿过单元边界时ψl有有限跳跃量。即yxll、　mjjljjljiniiuu1,)(21,)(11)((6-2-1)为δ函数。平方不可积试探函数在穿过单元边界时也可能有有限跳跃量。故φi、ψl所张成的有限元空间Ｓh仅是L2的一个子空间（函数自身平方可积）。不是H1（协调单元的有限元空间）的子空间（一阶导数平方可积）。基函数ψl,j-1、ψl,j仅在第j号单元内的非零，且)1(),1(2,21,jljl(6-2-2)对一般的非协调元来说，它的基函数或者一部分不满足协调条件。或者全部不满足协调条件。这些基函数张成的有限元空间Sh均不是容许空间（二阶问题的容许空间为H1）的子空间。2.内积和模fyuxu2222(6-2-3)dxdyyuxu22)()(21(6-2-4)泊松方程在整个求解域内其变形能由于当Sh不是H1(Ω)的子空间，试探函数u在穿过单元边界时为δ─函数。积分（6-2-4）在整个求解域内积分不存在。但是，在单元e内积分存在。dxdyyuxue22)()(21内积：当u、v∈Sh时，u、v的内积定义为dxdyyvyuyvxuvuDmjehj1)))(())(((),(（6-2-5）dxdyyuxuuuDmjehj122))()((21),(21（6-2-6）),(uuDuhh(6-2-7)“变形能”：能量模：存在3.有限元解),(),(),(21upufuuDhhP(6-2-8)),(),(21ufuuDhhP总势能函数当所有边界条件均为位移边界条件时：(6-2-9)Sh中使取驻值的元素即为非协调元的有限元解uh。或者换个提法：找一个元素uh∈Sh，使得对任何δu∈Sh都有hP0),(),(),(upufuuDhhhP(6-2-10)）　　（内部　）　　（外围　mlfuDnipfuDllhhiiihh2~10),(),(~10),(),(),(（6-2-11）非协调元的解还可以定义为：找一个元素uh∈Sh，使得由于δu为φi、ψl的线性组合（iii）对于Wilson非协调元，在计算边界力做功时，有意识地扣除了ψl的位移分量。后面讨论收敛性时将会看到这样做的用意，但从（6-2-11）的第二组方程已能初步看到它的效果（边界力p在这组方程中不出现）。（i）巧妙地避开了试探函数不满足协调条件所带来的困难。（ii）不满足协调条件的位移场（试探函数）在工程实际中是不存在的（现实中位称场总是协调的），但在进行理论讨论时却可以不受这种限制，因为最后要用的只是节点处的函数值。而节点处的位移值总是连续的。4.分片检验（考查单元能否描述常应变状态）一个非协调元的有限元解能否收敛到真实解，就看所使用的单元能否通过“分片检验”。对Wilson非协调元而言，只有单元形状为矩形（或平行四边形）时才能通过分片检验。“片”的概念：一个“片”由若干被检验的单元组成，但至少要有一个节点被组成“片”的单元所包围。值得关注的几点：②在这个片上施加适当的载荷和边界条件，使得片内的真实解为常应变状态。对二阶问题，常应变状态的真实解u可以为x、y的任何完全一次多项式cbyaxu(6-2-12)进行分片检验的基本步骤是：①选择一个片；③若有限元解uh与真实解u完全相同，则认为被检验的单元通过了分片检验。⑧③⑦⑥⑤④⑨15９８７６５４３２１131411121016图6-4①②下面以矩形Wilson非协调元为例加以说明。片由九个矩形Wilson非协调单元组成。总节点个数为16。单元个数m=9。在片的边界上施加适当的边界条件，使片内的真实解为（6-2-12）所示形式。由于u为真实解，在各单元内应有)(2222yuxuf(6-2-13)为了证明有限元解uh与真实解u是否