保险精算学-利息理论基础

人身保险精算本课程研究以单个被保险人为承保对象，以被保险人的生、死为保险事故的单个被保险人型人身保险的精算方法。课程结构基础利息理论基础生命表基础核心保费计算责任准备金计算拓展特殊年金与寿险资产份额第1章利息理论基础利息的度量利息问题求解的原则年金收益率第一节利息的度量一、利息的定义定义1利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。定义2：本金:每项业务开始时投资的金额。终值:业务开始一定时间后回收到的总金额称为该时刻的终值(或累计值)。利息:累计值与本金的差额就是这一时期的利息金额。终值=本金+利息A=S+I影响利息大小的三要素：本金金额利率投资时间二、利息的度量按照计息时刻划分：1.期末计息：利率2.期初计息：贴现率按照积累方式划分1.线性积累（1）单利计息（2）单贴现计息2.指数积累（1）复利计息（2）复贴现计息按照利息转换频率划分1.一年转换一次：实质利率（实质贴现率）2.一年转换m次：名义利率（名义贴现率）3.连续计息（一年转换无穷次）：利息效力二、利息的度量三、利息理论基础本金：每项业务开始时投资的金额。积累值：过了一定时间再回收的总金额。利息：积累值减去本金。积累函数：在时刻0时投资1单位本金在时刻t的积累值，用a(t)表示;金额函数:在时刻0时投资C单位本金在时刻t时的积累值，用A(t)表示。积累函数金额函数)(ta)(tAt01---------------------------a(t)C---------------------------A(t)本金终值)(tA=Ca(t)积累函数a(t)的性质:1.a(0)=1；2.a(t)通常为递增函数；3.当利息连续产生时，a(t)是t的连续函数；4.若a(0)=C,则A(t)=Ca(t).a(t)的四种情况：1.线性金额函数；2.非线性函数；3.水平的积累额函数；4.阶梯上升的积累额函数。例设a(t)=at2+b,且A(0)=100,A(3)=370,求A(5)=100时的A(10).实际利率某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投入的本金金额之比。实际利率通常用字母i表示。为整数nnnAInAnAnAinn,1,)1()1()1()()0()0()0()1(AIAAAi利息率:单位本金在单位时间内所孳生的利息。ni对于多个度量期的情形,可以分别定义各个度量期的实际利率。用表示从投资日算起第n个度量期的实际利率，则2.单利与复利(对多个利息周期而言)单利的计算：只有本金计息，利息不计息的计息方式。复利的计算：本周期的利息由上周期的本利和产生，也就是利息也将产生利息。本金1利率i1i2i3it时间t0123……..t-1t设在0到t时刻，利率i可以变动，如第一个时间段i=i1,第二个时间段i=i2…..如下图所示：(1)单利计算(利息不计息)累积函数:a(t)=1+i1+i2+……+it(2)复利计算(利息也计息)累积函数:a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+i3)……(1+it)单利累积函数:a(t)=1+it金额函数：A(t)=A(0)(1+it)=A(0)a(t)复利累积函数:a(t)=(1+i)t金额函数：A(t)=A(0)(1+i)t=A(0)a(t)等利率情况下例本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复利，求资本总额以及利息总额。时间（年）各年实际利率时间（年）各年实际利率0-22%5-63%2-54%3.现值（PresentValue）单利与复利的现值（单个度量周期）已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有1+i积累值，1+i称为累积因子。反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期初投资的本金金额须是(1+i)-1，把(1+i)-1称为贴现因子，记为：，故有i111单位本金经过t年后成为;那么1单位累计值在t年前的值便为。)(1ta)(tat年现值:我们把现在1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称为t年的现值。累积值a(t)现值本金11/a(t)-t0t单利与复利的现值（多个度量周期）单利下的现值和累计值-ti1ti11i211i111i21ti1-2-10t21金额时间……-ti1ti11i11121i-2-10t21金额时间211iti1复利下的现值和累计值……积累函数金额函数贴现函数第n期利息)(ta)(tA)(1ta()Int01------------------------------K-----------------------------------------------------------1)(1ta)(ta)(tA)1()()(nAnAnI本金终值名词总结如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。它相当于资金投资在期初的预付利息。贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在累积额基础上的减少。它相当于利率在每一利息计算期的起点时刻被记入。贴现额例子某人以年利率5%向银行借100元，则银行将付给借款人100元。1年后，该借款人将还给银行贷款本金100元，外加5元的利息，共计105元。如果此人不是以年实际利率5%而是以年实际贴现率5%向银行借100元，为期1年，则银行将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人95元。一年后，该借款人将还给银行100元。实际贴现率实际贴现率为该年内得到的利息金额与此年末的累计金额之比。简称为贴现率。第n年的贴现率记为dn。)()1()()()1()(nanananAnAnAdn第n年的贴现率为)1(1)1()1()0()1(aaAAAd一年的贴现率简化表示为d,有单位时间以年度衡量时，称为实际贴现率。实际贴现率d：使积累值为一个单位，须在一个度量周期期初支付的利息。解释：为了在时间1能得到1元的返还，投资人必须在时间0投入（1-d）元资金。这就相当于单位时间后到期的1元钱，在单位时间里产生的利息是d。d即为单位时间的实际贴现率。iiiiaaAAAd1111)1(1)1()1()0()1(iiid11111d11-t0t1(1-d)t1-d-11td)1(1金额时间复利下的现值和累计值例实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求:分别等于多少？2121ddii、、、答案1211112222(0)1000,(1)1020,(3)1050(1)(0)20(3)(2)30202%(0)1000201.96%(1)1020302.94%(1)1020302.86%(2)1050AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA212例已知某投资在一年中能得到的利息金额是420元，而等价的贴现金额是300元，求本金。实际利率和实际贴现率都是用来度量利息的。实际利率6%并不等于实际贴现率6%。然而，在实际利率和实际贴现率之间存在着一个确定的关系。若对给定的投资金额，在同样长的时期内，它们产生同样的积累值，则称这两个“率”是“等价”的。解设本金为A,则Ai=420,Ad=300,所以i/d=1.4,即1+i=1.4,i=0.4从而得A=420/0.4=1050元，即投资的本金为1050元。实际利率与实际贴现率初始值利息积累值11ii1d111）（idvv（4）名义利率实际利率（贴现率）“实际”：指利息在每个度量期（期末或期中）支付一次。问题：如果在一个度量期中利息支付不止一次，或多个度量期利息才支付一次，该如何刻画利率？答案：此种情况下称相应的一个度量期的利率为名义利率（贴现率）(4)（5）多次结算方式下的实际利率问题：一年多次结算与一次结算的效果有什么区别？考虑如下的计算实例：设本金为1元，按半年结算的名义利率为10%，则结算利率=10%/2=5%.第一次结算结果：1×(1+0.05)=1.05元，第二次结算结果：1.05×(1+0.05)=1.1025元，一年的利息额：1.1025-1=0.1025元，实际的年利率：10.25%.名义利率与实际利率i1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(实际利率01年第1季度第2季度第3季度（6）名义贴现率与实际贴现率名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(1年0第3季度第2季度第1季度在单利下由于利率只在本金上记息，所以没有名义利率和实际利率的区别。(7)利息力这是利息力的又一表达方式。利息强度在下面的讨论中，如果不作特别的说明，我们总是考虑离散的时间周期，通常以一年为单位，多年的资金运行按复利计算.1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41ddmdmm11)(1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41iimimm11)(利息贴现五种利息支付方式：dd(p)/pd(p)/pd(p)/p…………d(p)/pi(p)/pi(p)/pi(p)/p…………i(p)/pi时间01/p2/p3/p(p-1)/p1例1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。答案1、2、3、420(4)0.0815001742.9744niP84.693206.01100021122)2(0nndAA%0605.611206.014121413)4(12)12(4)4(idi第二节利息问题求解原则一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（等值方程）原则：在任意时间参照点，等值方程等号两边现时值相等。01t2tnt现金流时间坐标1p2pnp0p例：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点？千元7435.31006.106.1406.146xx千元7435.306.11006.1406.157xx例：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？例1.7答案（1）（2）%124%35700)14000)4(43jijj（)204.2%4.2061)1()(61)1(15000)1(