保险精算学4-2

第四节n年定期两全保险定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。假定：岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系)(x,,,,1,0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt1、死亡后年末给付符号：厘定:xnA1z2z3z312zzz11312:::()()()xxnxnnEzEzEzAAA记：n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则现值随机变量方差31212121212()()()2(,)()()2(()()())VarzVarzVarzCovzzVarzVarzEzzEzEz120zz11312::()()()2xxnnVarzVarzVarzAA因为所以2、死亡后立即给付符号：厘定:xnA1z2z3z312zzz11312:::()()()xxnxnnEzEzEzAAA记：n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则现值随机变量方差因为所以31212121212()()()2(,)()()2(()()())VarzVarzVarzCovzzVarzVarzEzzEzEz120zz11312::()()()2xxnnVarzVarzVarzAA例证明并解释1:::xnxmxmnmmxAAEA1:::mxxnxmxmnmAAEA111::1:1:1(1)(1)xxxxxxnnxnniAqpAqAA例设计算0()1,01001000.1xSxxi30:101(2)()tAVarz（）解：1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092()0.05560(1)1.10.33700.422(2)()0.0185()()()0.0431tttttAVarzAvpAAAVarzvpAVarzVarzVarzAA已计算：=700i，例：某人在60岁签单的特殊的3年期两全保险，在第一保单年度死亡保险金为100元，后两年死亡保险金为200元，生存保险金为200元。死亡保险金在死亡后立即给付。已知个体来自死亡力遵从deMoivre法则的群体，参数，计算保险人给付额现值的方差。19()100200190.1010EZ解：设Z表示保险人给付额的现值，T60服从[0.60]上的均匀分布22219()10020037000.1010EZ22var()()(())900ZEZEZ100,0100,0.05.xlxxi且则求例：设40:25.A3、不同给付时刻精算现值之间的关系结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则1:::xnxnxniAAA第五节终身寿险定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，保额1元终身寿险基本函数关系)(x,0,01,0tttttttvvtzbvvtbt趸缴纯保费的厘定符号：厘定：xA10()kxtxkkAEzqv现值随机变量的方差方差公式记所以方差等价为2222(1)100()()()kktttxxkkkkVarzEzEzqvqv22(1)0kxxkkAqv22()()txxVarzAA趸缴纯保费的厘定符号：厘定：xA0()()xttTAEzzftdt00tttxxttxxtvpdtepdt现值随机变量的方差方差公式记所以方差等价为22220()()()()()ttttTtVarzEzEzeftdtEz220()txTAeftdt22)()(xxtAAzVar例设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算1,060(t)600,Ttf其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xtAVarzz（）的解：0606002260220120602(1)()1160602()()1()6011()12060txTttxxtxAeftdteedtVarzAAedtAee（）0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr()ln=Pr(lnln)()lnln60ln()0.960ln6lnttTvzvtvPtvvftdtvve趸缴纯保费递推公式公式一：1xxxxAvpvqA1xA理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费。11::xxxmxmmAAAA例：给定计算76760.8000.9,0.03Avpi，77.A解：76767677AvqvpA770.810.A趸缴纯保费递推公式公式二：)1()1(11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xA解释：个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的。不同给付时刻精算现值之间的关系结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则.xxiAA例：设在每一年龄年UDD假设成立，35360.05,0.01,0.185.iqA35A解：3636ln1.050.1850.1805.0.05AAi353535360.1797AvqvpA计算11::2020,xxAA例：已知计算20:200.25,0.40,0.3xxxAAA1111:20::2020:20200.400.25xxxxxxAAAAAA解：11::20:20200.3xxxAAA11::2020131,.6012xxAA=10001-105xxl（）,例(1)张某在50岁时投保了一份保额100000元的30年定期寿险。假设预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。(2)假设张某买的是终身寿险，求该保单的趸缴净保费。29(1)150:300551110000010000020468.7()55551.08ttttA解：（）元55(1)505015002100000100000=22421.911.08tttpqA（）（元）(3)假设50岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，求其趸缴净保费113050:3050:3050:(3)10000010000010000024985.85()AAA元第六节延期支付的生命保险延期支付的终身寿险定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险基本函数关系)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm1、死亡年末给付符号：厘定：xmA1kxxmkkmAqv.mxxmEA11::.xmxxmxmxmxmAAEAAA2、死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定符号：厘定：xmA()()tmxtxmAEzvftdt.xmmxEA001:()()mttxxxxmvftdtvftdtAA现值随机变量的方差方差公式记所以方差等价于2222()()()()()ttttTtmVarzEzEzeftdtEz22()txTmmAeftdt22()()txxmmVarzAA例假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求：0.040.06(),0xSxex，t10(1)(2)Var(z)xA解：0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)()0.04()0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16()()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmSxtfteSxAeedtedteAeedtVarzAA延期m年n年定期寿险定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期寿险11:mnkxmkxnkmAqv1:.mxxmnEA1:mxnA1:.mxxmnEA延期m年n年定期两全保险定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定：岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险基本函数关系)(x,0,,,m0,,1,ttmnttttmntvtmntmvvtmnzbvvtmntmvtmnbtm1、死亡年末给付符号：厘定:mxnA11::::xmmmxnxnnmxxmnAAAEA2、死亡即刻支付符号：厘定:mxnA11::::mxnmxnmxnmxxmnAAAEA变额人寿保险递增终身寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次（连续递增）一年递增一次（x）在第一年内死亡则获得1元保险金，在第二年死亡获2元保险金，一次递增。又分为死亡年度末给付和死亡后立即给付两种情况。10()(1)ktxtxxtkkIAkvpdt10()(1)kxxkkIAkvq趸缴保费厘定0xkkA(xiIA）一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量趸缴保费厘定ttztv0()()txttxxtIAEztvpdt递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别：一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次（连续递增）一年递减一次现值随机变量趸缴保费厘定{[]},0,ttntvtnztn111:0()()knttxxtxnkkDAnkvpdt111:0()()nkxkxnkDAnkvq1:1nxkkA1:(xniDA）一年递减m次现值随机变量趸缴保费厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()()1nmtttxxtxnmksmnmttxxtksmksmmtDAEznvpdtmsnvpdtm一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量趸缴保费厘定(),0,ttntvtnztn1:0()()()ntttxxtxnDAEzntvpdt死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险11:::xxnxnnAAA1:xxmxmAAA111:::::xxmmmxnxnnmxmnAAAAA111:::mxnxmnxmAAA11