机械电子学-动力学仿真-第二节.

机械电子学陈学超Email:[e-mail]2第2节动力学正动力学：已知各个关节的作用力或力矩，各个关节的位移、速度，求得关节的加速度多刚体系统动力学公式逆动力学：已知各个关节的位移、速度、加速度，各个杆件受到的外力，求各个关节所需要的驱动力或力矩2()(,)()TextMqqDqqGqJf(,,,)extqfqqf(,,,)extfqqqf第2节动力学牛顿欧拉法空间矢量法拉格朗日法凯恩（Kane）法……3第2节动力学牛顿欧拉法空间矢量法拉格朗日法凯恩（Kane）法……4第2节动力学牛顿欧拉法空间矢量法拉格朗日法凯恩（Kane）法……5第2节动力学-牛顿欧拉法牛顿欧拉法这种方法是最直观的方法，通过牛顿方程和欧拉方程求解多刚体系统动力学。由于时间的限制，只介绍大体的计算流程，如果有疑问，可以自学具体的计算细节。6第2节动力学-牛顿欧拉法基本公式牛顿方程：描述了刚体质心的平移运动欧拉方程：描述了刚体绕质心的旋转运动7ccNIIcFmvcI是当坐标系原点在质心上时刚体的惯量第2节动力学-牛顿欧拉法向外迭代计算速度和加速度在已知了各个关节的角度、角速度、角加速度后，可以依次向外迭代，计算出所有刚体质心的线加速度，绕质心的角速度、角加速度在杆件坐标系中的表示8ccNIIcFmv第2节动力学-牛顿欧拉法作用在刚体上的力和力矩计算出所有刚体质心的线加速度，绕质心的角速度、角加速度后，通过牛顿-欧拉公式便可求出作用在刚体上的力和力矩9iicciiiiNIIiicFmv第2节动力学-牛顿欧拉法向内迭代计算关节的力或力矩在计算出来所有刚体所受的净外力和外力矩后，通过向内迭代，可以计算出相邻刚体间的相互作用力，通过计算作用力在关节轴向的分量，便可求出关节力矩或力。10iTiiiineiTiiiife转动关节移动关节第2节动力学牛顿欧拉法空间矢量法拉格朗日法凯恩（Kane）法……11第2节动力学-空间矢量法参考文献：FeatherstoneR.Theaccelerationvectorofarigidbody[J].IJRR,2001,20:841FeatherstoneR.ABeginner'sGuideto6-DVectors(Part1)[J].IEEERobotics&AutomationMagazine,2010,17(3):83-94.FeatherstoneR.ABeginner'sGuideto6-DVectors(Part2)[J].IEEERobotics&AutomationMagazine,2010,17(4):88-99.12第2节动力学-空间矢量法主要分两个部分介绍空间向量第一部分：什么是空间向量？它们如何工作？如何使用它们？第二部分：如何将空间向量的运算方式转换成程序，求正逆动力学？13第2节动力学-空间矢量法主要分两个部分介绍空间向量第一部分：什么是空间向量？它们如何工作？如何使用它们？第二部分：如何将空间向量的运算方式转换成程序，解正逆动力学？14第2节动力学-空间矢量法既然一个刚体有6个自由度，那么为什么不用一个6维向量来表示它的运动与作用到它上的力呢？优点：大大减少了代数运算量，只需更少的变量与更少的公式如果将6维向量想成仅仅是3维向量的简单叠加，那么就没有理解其真正含义6维向量法其实是一种思考的方法，具有自有的物理含义与数学性质15第2节动力学-空间矢量法用3维向量解2个刚体系统的动力学16第2节动力学-空间矢量法用6维向量解2个刚体系统的动力学17第2节动力学-空间矢量法空间矢量法的两种变量类型一种描述刚体的运动，表示为一种描述刚体受到的力，表示为变量上面的符号^表示此变量为空间矢量，是一个6维向量，Plücker坐标系被用来描述空间矢量186ˆmM6ˆfFdzdozdydoydxdox运动ezeozeyeoyexeox力OOPlücker坐标系第2节动力学-空间矢量法Plücker坐标系首先需要建立一个笛卡尔坐标系，笛卡尔坐标系的位置与方位定义了Plücker坐标系，这两种坐标系所描述的向量集合是1:1的映射关系19dzdozdydoydxdox运动ezeozeyeoyexeox力OO第2节动力学-空间矢量法定义如下三种单位矢量：中的元素代表在x，y，z方向上的单位欧几里德向量，这组单位向量定义了一个笛卡尔坐标系。中的前三个元素分别表示绕ox，oy，oz轴的旋转，后三个元素分别表示沿x，y，z轴的平移。中的前三个元素分别表示绕x，y，z轴的力矩，后三个元素分别表示沿ox，oy，oz方向的力。20dzdozdydoydxdox运动ezeozeyeoyexeox力OO{}Ci,j,kΕ{}oxoyozxyz6Dd,d,d,d,d,dM{}xyzoxoyoz6εe,e,e,e,e,eFCDε第2节动力学-空间矢量法设一个刚体的运动在笛卡尔坐标系中的表示为那么此运动在Plücker坐标系中表示为：21xyzωijkOOxOyOzvvvvijkˆxOxyOyzOzOxxOyyOzzvvvvdddddd第2节动力学-空间矢量法设一个刚体受到的作用力在笛卡尔坐标系中表示为那么此作用力在Plücker坐标系中的表示为：22xyzffffijkOxOyOznnnOnijkˆOxxOyyOzzxOxyOyzOznnnffffeeeeee第2节动力学-空间矢量法如果采用坐标向量的方式表示，那么运动与力的空间向量表示简化为：或者为：23ˆxyzOxOyOzvvvvˆOxOyOzxyznnnffffˆovvˆonff这种简单的表示方式非常方便，也比较常用，但是缺点是看上去好像是三维向量的简单叠加，容易使人误解为空间向量是三维向量的简单叠加，但是这种叠加其实只是书写形式的叠加，空间向量有其自己的物理含义。第2节动力学-空间矢量法Plücker坐标变换在进行动力学计算时，往往需要将空间向量在不同的坐标系之间进行转换。假设有两个坐标系A和B，E是从坐标系A到坐标系B的旋转矩阵，r是坐标系B的原点在坐标系A中的位置。24ABEx1y1z1x2y2z2第2节动力学-空间矢量法Plücker坐标变换设，，，为空间向量，分别表示在A和B坐标系中的运动、受力，那么转换规则如下：其中是将运动从坐标系A转到坐标系B的转换矩阵，是将力从坐标系A转到坐标系B的转换矩阵，它们二者之间的关系为25ˆAmˆBmˆAfˆBfˆˆBBAAmXm*ˆˆBBAAfXfBAX*BAX*()BBTAAXX第2节动力学-空间矢量法Plücker坐标变换和仅取决于坐标系B相对于坐标系A的相对位置其中：E是坐标系B在A中的姿态矩阵，r是坐标系B的原点在A中的位置。另外，是斜对称矩阵，26BAE010X0E-r1*()BBTAAE01-rXX0E01000xzyyzxzyxrrrrrrrrrrBAX*BAXr第2节动力学-空间矢量法空间矢量的微分当对一个在移动的Plücker坐标系中定义的矢量进行微分时，有如下的式子：A既是Plücker坐标系的名字，也是定义这个坐标系的坐标框架的名字，是坐标框架A的速度在坐标系A中的表示27AAv()AAAAAdmdmvmdtdt*()AAAAAdfdfvfdtdt第2节动力学-空间矢量法空间矢量的微分上面两式定义了两种运算符和定义如下28*()AAAAAdmdmvmdtdt*()AAAAAdfdfvfdtdt0ˆoovvv**ˆˆ0oTovvvv第2节动力学-空间矢量法空间矢量的微分一种比较特殊的情况（也是用得比较多的情况），即运动与力都固定在某个坐标系上，它们的改变仅仅是因为坐标系本身的运动，那么V是坐标系的速度。29mvm*fvf第2节动力学-空间矢量法空间矢量的加速度欧式空间的速度定义为刚体上一个固定点O的速度，即，加速度定义为刚体上固定点O的加速度，即。空间矢量法定义的速度为在空间中一个固定点测量的刚体的速度，加速度为空间速度的变化。30ˆˆoddavvrrdtdtrr空间速度的参考点在刚体上不是固定的，而是一些列变化的点，这是线加速度多出一项的原因第2节动力学-空间矢量法空间矢量的加速度与传统的加速度相比，空间加速度确实比较难以理解，但是使用起来非常方便。假如两个刚体B1和B2由一个关节连接，那么它们的速度有如下关系式加速度有如下关系式s为关节的转轴方向矢量，q为关节角度3121ˆˆvvsq21ˆˆaasqsq第2节动力学-空间矢量法刚体的空间惯量空间惯量将速度转成动量空间惯量为如果有N个刚体被固连在一起，那么有32ˆˆhIvˆvˆhTcTmmImmIcccc11NtotiiII第2节动力学-空间矢量法刚体的空间惯量空间惯量是与10个量相关，质量1个，质心位置3个，刚体惯量6个。注意：传统的惯量与位置无关，而空间惯量与质心位置相关。33TcTmmImmIcccc1第2节动力学-空间矢量法刚体的空间惯量空间惯量遵循的运算法则：另外，刚体的机械能为34*BBAAABIXIX*dIvIIvdt12EvIv第2节动力学-空间矢量法运动方程一个速度为v，惯性为I的刚体的运动方程为：f是作用在刚体上的合外力，a是由于外力产生的加速度。35*()dfIvIavIvdt第2节动力学-空间矢量法运动约束相对速度：相对加速度：3621vvSq21aaSqSq第2节动力学-空间矢量法空间矢量运算法则总结相对速度：如果刚体与的速度分别为与，那么相对于的速度为合力：如果和作用于同样的刚体上，那么它们等效于一个合力作用力与反作用力：如果刚体施加了力到刚体上，那么施加一个力到上，这是牛顿第三定律的空间矢量形式3721relvvv1B2B1v2v1B2B1f2ftotf12totfffff1B2B2B1B第2节动力学-空间矢量法空间矢量运算法则总结数量积：如果力作用于速度为的刚体上，那么该力所产生的功率为微分：运动的微分还是运动，力的微分还是力。如果和固定在速度为的刚体上，那么，加速度：空间加速度是空间速度的微分。如果，那么合惯量：如果刚体和的惯量分别为和，当这两个刚体固连后组成的刚体的惯量为38fvfvmfvmvm*fvf21relvvv21relaaa1B2B1I2I12totIII第2节动力学-空间矢量法空间矢量运算法则总结动量：速度为，惯量为的刚体的动量为运动方程：作用于刚体上的合力为刚体动量的微分39IvIv*()dIvfIavIvdt第2节动力学-空间矢量法主要分两个部分介绍空间向量第一部分：什么是空间向量？它们如何工作？如何使用它们？第二部分：如何将空间向量的运算方式转换成程序，解正动力学与逆动力学？40~roy/spatial/第2节动力学-空间矢量法空间矢量法的应用例子逆动力学是计算给定加速度所需作用力的问题，是一个相对比较容易的问题，因此从这问题出发，理解空间矢量法在多刚体动力学求解中的应用41(mod,,,)IDelqqq第2节动力学-空间矢量法右侧为求解逆动力学的Matlab代码，采用了牛顿-欧拉