2014届高三专题复习之圆锥曲线专题

圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(p2，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1)e＝ca＝1＋b2a2(e＞1)e＝1准线x＝－p2渐近线y＝±bax1．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x答案C解析由题意知：Fp2，0，抛物线的准线方程为x＝－p2，则由抛物线的定义知，xM＝5－p2，设以MF为直径的圆的圆心为52，yM2，所以圆的方程为x－522＋y－yM22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p5－p2，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x答案C解析由e＝ca＝52知，a＝2k，c＝5k(k∈R＋)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.所以ba＝12.即渐近线方程为y＝±12x.故选C.3．(2013·山东)抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A.316B.38C.233D.433答案D解析抛物线C1的标准方程为：x2＝2py，其焦点F为0，p2，双曲线C2的右焦点F′为(2,0)，渐近线方程为：y＝±33x.由y′＝1px＝33得x＝33p，故M33p，p6.由F、F′、M三点共线得p＝433.4．(2013·福建)椭圆Г：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析由直线方程为y＝3(x＋c)，知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a.即e＝ca＝3－1.5．(2013·浙江)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．答案±1解析设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．解方程组y＝kx＋1y2＝4x.化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝4－2k2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝4k.∴x0＝2－k2k2，y0＝2k.由x0－12＋y0－02＝2得：2－2k2k22＋2k2＝4.∴k＝±1.题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．(2)已知P为椭圆x24＋y2＝1和双曲线x2－y22＝1的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为________．审题破题(1)根据椭圆定义，△ABF2的周长＝4a，又e＝22可求方程；(2)在焦点△F1PF2中使用余弦定理．答案(1)x216＋y28＝1(2)－13解析(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设|PF1||PF2|，则|PF1|＋|PF2|＝4|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3|PF2|＝1.又|F1F2|＝23，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝－13.反思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2||F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2|||F1F2|.变式训练1(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点F1，F2，M为双曲线上一点，且满足∠F1MF2＝90°，点M到x轴的距离为72.若△F1MF2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为__________．答案y＝±7x解析由题意得12·2c·72＝14，所以c＝4.又||MF1|－|MF2||＝2a，|MF1|2＋|MF2|2＝82，12·|MF1|·|MF2|＝14.所以a＝2，b＝14.所以渐近线方程为y＝±7x.(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案y2＝±8x解析抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为a4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2x－a4，令x＝0得y＝－a2.∴△OAF的面积为12×a4×－a2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.∴抛物线方程为y2＝±8x.题型二圆锥曲线的性质例2(1)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()A.2B．22C．4D．8(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32审题破题(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解．答案(1)C(2)A解析(1)设C：x2a2－y2a2＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立x2a2－y2a2＝1和x＝－4得A(－4，16－a2)，B(－4，－16－a2)，∴|AB|＝216－a2＝43，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.(2)当曲线C为椭圆时，e＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝34＋2＝12；当曲线C为双曲线时，e＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝34－2＝32.反思归纳(1)求椭圆或双曲线的离心率的方法：①直接求出a和c，代入e＝ca；②建立关于a，b，c的方程或不等式，然后把b用a，c代换．通过解关于ca的方程或不等式求得离心率的值或范围．(2)研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几何性质．变式训练2(1)已知O为坐标原点，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若(AO→＋AF→)·OF→＝0，则双曲线的离心率e为()A．2B．3C.2D.3答案C解析如图，设OF的中点为T，由(AO→＋AF→)·OF→＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴Ac2，c2，又A在直线y＝bax上，∴a＝b，∴e＝2.(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．23B．25C．43D．45答案B解析由y＝baxx＝－p2，解得y＝－bp2ax＝－p2，由题意得－bp2a＝－1－p2＝－2，得ba＝12p＝4，又知p2＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝a2＋b2＝5，∴焦距2c＝25.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22.(1)求a、b的值；(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP→＝OA→＋OB→成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．审题破题(1)由直线l的斜率为1过焦点F，原点O到l的距离为22可求解；(2)需分直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件OP→＝OA→＋OB→可得P点坐标，结合A、B、P在椭圆上列等式消元求解．解(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为|0－0－c|2＝c2，故c2＝22，c＝1.由e＝ca＝33，得a＝3，b＝a2－c2＝2.(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP→＝OA→＋OB→成立．由(1)知C的方程为2x2＋3y2＝6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k(x－1)．C上的点P使OP→＝OA→＋OB→成立的充要条件是P点坐标为(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6，整理得2x21＋3y21＋2x22＋3y22＋4x1x2＋6y1y2＝6，又A、B在椭圆C上，即2x21＋3y21＝6,2x22＋3y22＝6，故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.①将y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化简得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，于是x1＋x2＝6k22＋3k2，x1·x2＝3k2－62＋3k2，y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝－4k22＋3k2.代入①解得k2＝2，此时x1＋x2＝32.于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－k2，即P32，－k2.因此，当k＝－2时，P32，22，l的方程为2x＋y－2＝0；当k＝2时，P32，－22，l的方程为2x－y－2＝0.(ⅱ)当l垂直于x轴时，由OA→＋OB→＝(2,0)知，C上不存在点P使OP→＝OA→＋OB→成立．综上，C上存在点P32，±22使OP→＝OA→＋OB→成立，此时l的方程为2x±y－2＝0.反思归纳解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．变式训练3(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解(1)由题意得b＝1，a＝2.所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(