数学地质系列______7模糊数学

2019年12月25日1模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。2019年12月25日2年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法。模糊数学绪论2019年12月25日3•产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)•基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.模糊数学绪论2019年12月25日4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支•涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；•模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论2019年12月25日5模糊数学绪论•课堂主要内容一、基本概念二、主要应用1.模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。2019年12月25日62.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型。模糊数学绪论例如：苹果分级问题苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。2019年12月25日73.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解2019年12月25日8模糊数学一模糊集合及其运算二模糊聚类分析三模糊模式识别四模糊综合评判五模糊线性规划2019年12月25日9一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算2019年12月25日10.uAA.uAuAu模糊集合及其运算2019年12月25日11在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：AuAu),(}1,0{:uuUAA其中AuAuuA,0,1)(函数称为集合A的特征函数。A模糊集合及其运算非此及彼2019年12月25日12模糊集合及其运算亦此亦彼UA模糊集合,~A元素x若x位于A的内部，则用1来记录，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，则用x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。2019年12月25日13{0,1}[0,1]特征函数隶属函数二、模糊子集定义：设U是论域，称映射]1,0[)(],1,0[:~~xxUAA确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函~A~A~A数，称为对的隶属程度，简称隶属度。)(~xAx~A2019年12月25日14模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者~A~A是等同的。为简单见，通常用A来表示和。~A~A模糊集合及其运算)(~xA越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；)(~xA越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；)(~xA＝0.5,最具有模糊性，过渡点2019年12月25日15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iixxA)(ix)(ixA如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为4032.028.011A可省略模糊集合及其运算2019年12月25日16（3）向量表示法))(,),(),((21nxAxAxAA（2）序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nnxAxxAxxAxA若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(模糊集合及其运算2019年12月25日17例1.有100名消费者，对5种商品评价，结果为：54321,,,,xxxxx81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人认为x5质量好则模糊集A（质量好）5432124.00153.081.0xxxxxA2019年12月25日18例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…札德给出了“年老”集函数刻画:10050))550(1(5000)(12uuuuO10U501002019年12月25日19再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：10025))525(1(2501)(12uuuuY102550UB（u）2019年12月25日20则模糊集O（年老）1005012500))550(1(0uuuuuO1002512250))525(1(1uuuuuY则模糊集Y（年轻）2019年12月25日212、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA),()(包含：UxxBxABA),()(并：UxxBxAxBA),()())((交：UxxBxAxBA),()())((余：UxxAxAc),(1)(表示取大；表示取小。模糊集合及其运算2019年12月25日23模糊集合及其运算并交余计算的性质1.幂等律,,AAAAAA2.交换律,,ABBAABBA3.结合律CBACBACBACBA)()(,)()(4.吸收律ABAAABAA)(,)(2019年12月25日24模糊集合及其运算6.0-1律AUAUUAAAA,,,7.还原律,)(AAcc8.对偶律,)(,)(ccccccABBABABA5.分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA2019年12月25日25几个常用的算子：（1）Zadeh算子),(},min{},,max{babababa（2）取大、乘积算子),(abbababa},,max{（3）环和、乘积算子),ˆ(abbaabbaba,ˆ模糊集合及其运算2019年12月25日26（4）有界和、取小算子),(},min{),(1babababa（5）有界和、乘积算子),(abbababa),(1（6）Einstain算子),()1)(1(1,1baabbaabbaba模糊集合及其运算2019年12月25日27三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使对A的隶属关系是不确定的。0u模糊集合及其运算2019年12月25日28特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数*00lim)(0u对A的隶属度：模糊集合及其运算2019年12月25日29模糊集合及其运算对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28问年龄27属于模糊集A（青年人）的隶属度。0u2019年12月25日30对年龄27作出如下的统计处理：A(27)=0.78(变动的圈是否盖住不动的点)n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101隶属频率0.780.760.760.750.790.782019年12月25日312、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。例如：在论域中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数}9,,2,1{U中间型2019年12月25日32模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数)(11)(axxA先确定一个简单的，比如,)5(11)(2xxA此时有,906.081.072.065.05145.032.021.0106.0A，5.0)6()4(AA不太合理，故改变α2019年12月25日33模糊集合及其运算取,)5(5111)(2xxA此时有,924.0836.0756.0683.051483.0356.0236.0124.0A)()(xAxA比有所改善。2019年12月25日343、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算2019年12月25日35模糊集合及其运算四、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。,10,)(ijnmijrrR当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，nnijrR)(ijr称R为模糊单位矩阵。例如：3.07.05.01.001R00000000002019年12月25日36（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA)(,)(相等：ijijbaBA包含：ijijbaBA模糊集合及其运算并：nmijijbaBA)(交：nmijijbaBA)(余：nmijcaA)1(2019年12月25日38（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为A与B的合成，其中。模糊集合及其运算即：定义：设A为阶，则模糊方阵的幂定义为nn1()sijikkjkcab1()sijikkjkCABcabAAAAAAAAAnn1232,,,2019年12月25日39例5：则设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.