江苏省南京市2012-2013学年高二上学期期末调研数学文试题

南京市第一学期期末调研测试卷高二数学卷(文科)一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上1．复数1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第▲象限．2．已知命题p：x∈R，x2＞x－1，则p为▲．3．在平面直角坐标系中，准线方程为y＝4的抛物线标准的方程为▲．4．若复数z＝4＋3i(i为虚数单位)，则|z|＝▲．5．双曲线x2－y29＝1的渐近线方程为▲．6．“x＞1”是“x＞0”成立的▲条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种)．7．已知曲线y＝ax2在x＝1处切线的斜率是－4，则实数a的值为▲．8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋(y－3)2＝r2(r＞0)外切，则实数r的值为▲．9．函数y＝x3－3x2＋1的单调递减区间为▲．10．若直线3x＋4y－12＝0与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，则线段MN的长为▲．．11．观察下列等式：12×3＝(12－13)×11，12×4＝(12－14)×12，12×5＝(12－15)×13，12×6＝(12－16)×14，………………可推测当n≥3，n∈N*时，12×n＝▲．12．已知椭圆x29＋y24＝1与双曲线x24—y2＝1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则PF1·PF2＝▲．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为a2＋b22；按此方法，在三棱锥S－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S－ABC外接球的半径为▲．14．若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且f(x)x在I上是减函数，则称y＝f(x)在I上是“弱增函数”．已知函数h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）已知复数z1满足z1·i＝1＋i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2．（1）求z1；（2）若z1·z2是纯虚数，求z2．16．（本题满分8分）已知命题p：任意x∈R，x2＋1≥a，命题q：方程x2a＋2－y22＝1表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．17．（本题满分10分）已知以点P为圆心的圆经过点A(1，4)，B(3，6)，线段AB的垂直平分线与圆P交于点C，D，且CD＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．18．（本题满分10分）如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F（c，0），下顶点为A(0，－b)，直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2＋y2＝2相切，求椭圆C的方程．FABxy（第18题）O19．（本题满分10分）如图，在边长为2（单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个三角形沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为xm．（1）求正四棱锥的高h(x)；（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？20．（本题满分12分）设函数f(x)＝lnx－ax，a∈R．（1）当x＝1时，函数f(x)取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[1，2]的最大值．xx（第19题）h高二数学（文）参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．四．2．x∈R，x2≤x－1．3．x2＝－16y．4．5．5．3x±y＝0．6．充分不必要．7．－2．8．1．9．(0，2)．开闭区间均可10．23．11．(12－1n)×1n－2．12．5．13．a2＋b2＋c22．14．1．说明：填空题的严格按照评分标准，没有中间分，第5题少解或有错解不得分．二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分8分）解（1）因为z1·i＝1＋i，所以z1＝1＋ii＝1－i．……………4分（2）因为z2的虚部为2，故设z2＝m＋2i(m∈R)．因为z1·z2＝(1－i)(m＋2i)＝(m＋2)＋(2－m)i为纯虚数，…………6分所以m＋2＝0，且2－m≠0，解得m＝－2．所以z2＝－2＋2i．……………………8分说明：按评分标准给分．第(1)问也可用待定系数求，列出方程给2分，得出结果给2分，第(2)问中不说明2－m≠0不扣分．16．（本题满分8分）解（1）记f(x)＝x2＋1，x∈R，则f(x)的最小值为1，………………………2分因为命题p为真命题，所以a≤f(x)min＝1，即a的取值范围为(－∞，1]．……………4分（2）因为q为真命题，所以a＋2＞0，解得a＞－2．………………6分因为“p且q”为真命题，所以a≤1，a＞－2，即a的取值范围为(－2，1]．……8分说明：第(1)问得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给4分，没过程不扣分，第(2)问分两步给，得到a＞－2给2分，得到x∈(－2，1]给2分，少一步扣2分．17．（本题满分10分）解（1）因为直线AB的斜率k＝1，AB中点坐标为M(2，5)，…………2分所以直线CD方程为y－5＝－(x－2)，即x＋y－7＝0．………………4分（2）设圆心P(a，b)，则由P在CD上得，a＋b－7＝0．①又直径CD＝4，所以PA＝2，即(a－1)2＋(b－4)2＝4．②………6分由①②解得a＝1，b＝6，或a＝3，b＝4．所以圆心P(1，6)或P(3，4)．所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－6)2＝4或(x－3)2＋(y－4)2＝4．……10分说明：按评分标准给分，第(2)问若少一解扣2分．18．（本题满分10分）解（1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c＝a2c，………………2分即c2a2＝12，所以椭圆的离心率e＝22．……………4分（2）由(1)知a＝2c，b＝c，所以直线AB的方程为y＝x－c，即x－y－c＝0，6分因为直线AB与圆x2＋y2＝2相切，所以|c|2＝2，……………8分解得c＝2．所以a＝22，b＝2．所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1．………10分说明：按评分标准给分．19．（本题满分10分）解（1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．由于切去的是等腰三角形，所以AN＝1＋x2，NO＝1－x，…………2分在直角三角形AON中，AO＝AN2－NO2＝1＋x2－(1－x)2＝2x，因此h(x)＝2x，（0＜x＜1)．………………………………4分（不写0＜x＜1扣1分）（2）V(x)＝13·12·[2(1－x)]2·2x＝223(1－x)2x，（0＜x＜1)．………6分由V′(x)＝223[(2x－2)x＋(1－x)22x]＝223(x－1)5x－12x＝0，………………8分解得x＝1(舍去)，x＝15．当x∈(0，15)时，V′(x)＞0，V(x)为增函数；当x∈(15，1)时，V′(x)＜0，V(x)为减函数．所以函数V(x)在x＝15时取得极大值，也为V(x)的最大值．答：当x为15m时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值．…………………10分说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分．ANO20．（本题满分12分）解（1）f(x)的定义域为（0，＋∞），所以f′(x)＝1x－a＝1－axx．………2分因为当x＝1时，函数f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．经检验，a＝1符合题意．（不检验不扣分）……………4分（2）f′(x)＝1x－a＝1－axx，x＞0．令f′(x)＝0得x＝1a．因为x∈(0，1a)时，f′(x)＞0，x∈(1a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1a)递增，在(1a，＋∞)递减，………………6分①当0＜1a≤1，即a≥1时，f(x)在(1，2)上递减，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝－a；………………8分②当1＜1a＜2，即12＜a＜1时，f(x)在(1，1a)上递增，在(1a，2)上递减，所以x＝1a时，f(x)取最大值f(1a)＝－lna－1；………………10分③当1a≥2，即0＜a≤12时，f(x)在(1，2)上递增，所以x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝ln2－2a；综上，①当0＜a≤12时，f(x)最大值为ln2－2a；②当12＜a＜1时，f(x)最大值为－lna－1．③当a≥1时，f(x)最大值为－a．……………………12分说明：第(1)问，不检验不扣分；第(2)问的讨论，每一种情形给2分；不总结结论不扣分．