数学建模-新产品销量预测问题

销量预测问题一、摘要本文通过建立微分方程模型，探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、由理想到现实，逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况，分析了广告费用对销售量产生的影响，建立比较符合现实的模型。问题一中，新产品的投入，没有市场竞争，有良好的市场环境，也有良好的口碑，故属于较为简单的微分方程模型，可直接建立模型。问题二中，产品销售存在一定的市场容量N,统计表明dtdx与该产品的潜在容量)(txN成正比，故建立阻滞增长模型求解。问题三中，则考虑了广告费用对产品销量的影响，分析了广告费用与销售速率之间的关系，建立数学微分方程模型，并运用了Matlab软件编程求解。二、问题提出一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施，使得产品销量大，获取更大的利润，这是每个经营者最为关注的问题。1、设t时刻产品销量的增长率dxdt与)(tx成正比,预测t时的产品销量tx；2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N,统计表明dtdx与该产品的潜在容量)(txN成正比,预测t时的产品销量tx；3、试考虑影响产品销量的广告因素，并建立模型，预测t时的产品销量tx.三、模型假设与符号系统模型假设：模型基本假设：；假设1：在考虑影响商品销售的因素时，不考虑偶然因素，如经济、战争因素、政治干预等；假设2：产品的销售量符合产品的生命周期；假设3：产品为日常用品，不是耐用品，每个人都需要。符号系统：x(t)为t时刻新产品的销售量a为每件新产品的宣传效率N为市场的销售容量b为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数s(t)为商品t时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不是总销售量)M(t)为t时刻的广告费用θ为销售量本身的衰减系数∂为广告宣传对销售速率的影响T为商品销售速率最大的时刻四、模型的建立与求解问题一模型的建立与求解：模型的建立：t时刻时，新产品的销售量为x（t），把x（t）当做连续、可微函数处理。每件新产品都是宣传品，且单位时间内每件新产品能够使a件新产品被销售。由假设可知：x(t+∆t)-x(t)=ax(t)即：dxaxdt开始时有0x件新产品被销售x(0)=0x整理得：(0)0dxaxdtxx求解得：()0atxtxe问题二模型的建立与求解：模型的建立：事实上，tx往往是有上界的。针对模型上述欠缺，我们来修改模型,统计表明dtdx与该产品的潜在销量成正比，且设b为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数则：(())dxbNxtdt用matlab软件求解得：(1)0()btbtNexxte问题三模型的建立与求解：模型的建立：与实际情况比较，所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。然而事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。另由图像分析可知商品的销售速度与广告费用成正比，即()dsMtdt但是在市场趋于饱和，销售量趋于极限值N时，销售速度将会下降（广告作用下降，当s（t）趋近于N，广告作用趋近于零）。产品生命周期一般分为四个阶段：引入期：指新产品投入市场的初期阶段，也叫投入期。因这一阶段，用户对产品不太了解，需要做大量的广告宣传工作，向用户推荐介绍产品，所以这一时期也叫做介绍期。成长期：市场销售量迅速增长的阶段。成熟期：销售量很大，而且稳定，增减幅度不大。销售量最高点也是在这一时期。衰退期：产品已经陈旧老化，销售量下降很快。由产品的生命周期可知，自然衰退是商品销售速度的一种性质，即产品销售速度随销售量的增加而下降。()1dsstdtN由于商品本质属性中销售衰减期的存在，所以我们建立模型如下：()()()(1)()dststMtstdtN特别：M(t）=0，s（t）=N时，得到()()dststdt若M(t）复杂，则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系，当销售进行到一定时刻，无论如何做广告，销售速度都将下降。故设广告总费用为m，为讨论方便，设在T时间内做广告且取M（t）=m/T,即取广告策略为:(0)()0()mtTMtTtT相当于在开始到T时间内，平均投入广告费用，时间T后不再作广告。代入方程：当0tT时，()()(1)()dstmststdtTN()()mmstTTM(0tT)令mpTMmqT则方程化为一阶非齐次线性方程()()dstpstqdt得:()ptqstcep若s（0）=s0，则c=s0-q/p,从而()(0)ptqqstsepp(1)0ptptqesep当tT时，由s'(t)=-s(t)得：,s(t)=ptce当t=T时，由s=s(T)=Ns,由（1）算出得即0()(1)(0)()()ptptTtNqescetTpstsetT)()(tTnests