数学建模-某区域雨水管道的改造

某区域雨水管道的改造摘要本文针对区域雨水管道的不合理之处，采用了流体的物理知识进行相应的改造，并利用Ford--Fulkerson标号算法进行Matlab实现。问题一中，本文利用流体力学中流量与管径、管壁粗糙程度、以及坡度之间的关系，确定了流量的求算公式。进而求出了整个雨水管道网络中各条管道的最大容量限制。随后建立最大流问题的线性规划模型，并利用经典的Ford--Fulkerson标号算法求出管道的最大流。对于整个管道，则根据流体的惯性进行物理分析，根据两次经费的多少确定要改进的管道，并利用相同的方法计算改造后的管道最大流。问题二中，本文首先通过查询相关的天气状况知识，确定了并简化为降雨量与暴雨预警信号级别的关系，接着通过对该区域面积的假设，求出红色暴雨预警条件下总的降雨量V。随后建立最大流问题的线性规划模型，并利用经典的Ford--Fulkerson标号算法求出管道的最大流。根据流体的惯性和使用最少经费的原则，对管网进行了两段改造，而后通过流量的求算公式求出最新的网络最大流，进而得到一小时内管网的最大排水承受量V。用V与改造后的雨水管道在一小时内的排水量V进行对比，管网合格，则计算改造经费，确定方案。关键词：Ford--Fulkerson标号算法流体的惯性Matlab网络最大流一、问题重述2012年7月21日，北京遭遇61年来最强降雨，导致多条环路及主干道积水拥堵，部分环路断路,部分地铁线路部分区段停运,城市交通一度混乱。一场暴雨，暴露了这个城市排水系统的脆弱，也引出了我们对于这个城市排水问题的思考。随着经济的不断发展，城市中建设越来越多的高楼大厦、柏油马路、城市广场、立交桥、停车场等等，市区内的裸露土地越来越少，一旦下起雨来，雨水很难渗入地下。遇到大雨、暴雨，雨水来不及通过下水道流走，就形成径流，汇积成了了积水。虽然现在许多现代化城市、包括我国新建的不少城市都有比较现代化的排水和下水管道系统，但遇到降雨量过大时，仍然会发生排水不及形成积水，同样的情况国外许多现代化的都市也难以避免。积水的多少与降雨的强度、降水历时以及下水系统的设计有很大关系。问题一：试建立模型讨论在暴雨警报时图示区域管网整体排放能力；如若分别用50000和500000元的经费对该区域雨水管网进行改造，管网的排水能力有多大。（降雨历时设为60min）；问题三：查阅相关资料和数据，求解满足排水能力符合红色暴雨强度的需求，至少经费为多少？如何改造？二、问题分析问题一要求我们改造该管网以提高排水能力，所以首先我们要建立模型求得排水管网的整体排放能力。即将问题转化以每个管道能排放的最大流量为容量制约条件的最大流问题。利用流体的物理性质分析得到雨水管道设置的不足之处，并根据可利用经费的多少提出相应的解决方案。在相应的解决方案下要确定管网所能承受的最大降雨量。本文求解最大流采用经典的Ford--Fulkerson标号算法，并利用Matlab进行实现。问题二求解满足排水能力符合红色暴雨强度的需求，至少经费为多少以及改造的方法。首先通过背景知识了解红色暴雨强度的标准，并简化为降雨量与暴雨预警信号级别的关系，接着通过对该区域面积的假设，求出红色暴雨预警条件下总的降雨量V。并与改造后的雨水管道在一小时内的排水量进行对比，如果管网合格，则计算改造经费，确定方案。三、基本假设（1）假设排水管道全部采用钢管，管壁粗糙系数为0.009；（2）假设80%的雨水通过排水管道流入城市河道；（3）假设此区域面积为1.5平方公里；（4）假设管道无堵塞，水流畅通无阻；（5）该区域是一个独立系统，不受外界系统的影响；（6）水流只能顺坡度流，不能逆向流动。四、符号说明（1）Q——排水管道的最大流；（2）R——水力半径（m）；（3）v——水流速度（m/s）；（4）V——降水总体积；（5）A——第一类水道的弧集；（6）f——雨水管道上的流；（7）T——雨水收点；（8）S——雨水发点。五、模型的建立与求解5.1.1计算各排水管道流量首先将水道分为3类，一是排水管道，二是地面到收水口，三是出水口到河道。排水管道编号如下：21321=VRinQVA/RAx式中：V——速度（m/s）；n——管道粗糙系数；i——水力坡度；R——水力半径（m）；Q——流量（3/ms）通过以上公式计算可得各管道的流量（3/ms）大小，具体结果见下表：li1234567数值0.99560.18031.28380.18030.38830.04920.8868li891011121314数值0.10250.11090.08651.08610.22080.0371.1448li15161718192021数值0.54910.05680.11090.2723.37530.11840.0492弧容量矩阵C=[01.14480.0370.10250.99560000000000000000003.375300.549100000.05680000000000000.110900000000.180300000.388300000000.180300001.283800000000000000.16760000000.110900000.27200000000.08650000000000000.049200.88680000000000001.3069000000000000];对于第二类水道，方向是地面流向收水口，权值等于以收水口作为起点的边的权值之和。对于第三水道，同第二类的类似的。方向是由出水口流向河流，权值等于以收水口作为终点的边的权值之和。5.1.2雨水管道最大流模型的建立设A为第一类水道的弧集，将1234,,,xxxx合为一个雨水发点S，将1234,,,yyyy合为雨水收点T。定义在弧集合A上一个函数(,)ijijfffvv为此区域雨水管道上的流。（1）容量限制条件：对每一条弧(,),0ijijijvvAfc；（2）平衡条件：对于中间，流出量=流入量，即对于每个(,)iist有:(,):(,)0ijjiijjijvvAjvvAff，对于发点sv，记(,)(,)()sjjssjjsvvAvvAffvf，对于收点tv，记(,)(,)()tjjttjjtvvAvvAffvf式中：v(f)称为这个雨水管道可行流的流量，即雨水发点S净输出量。最大流问题可以写为如下的线性规划模型：:(,):(,)max()(),,..(),,0,,,0,(,).ijjiijijjvvAjvvijijijvfvfisstffvfitistfcvvA5.1.3模型求解结果从一个可行流f开始,求最大流的Ford--Fulkerson标号算法的基本步骤：（1）标号过程①给发点vs以标号(+,+∞),ds=+∞.②选择一个已标号的点x,对于x的所有未给标号的邻接点y,按下列规则处理：当yx∈E,且fyx＞0时,令dy=min{fyx,dx},并给y以标号(x−,dy).当xy∈E,且fxy＜Cxy时,令dy=min{Cxy−fxy,dx},并给y以标号(x+,dy).③重复②直到收点vt被标号或不再有点可标号时为止.若vt得到标号,说明存在一条可增广链,转⑵调整过程;若vt未得到标号,标号过程已无法进行时,说明f已经是最大流.（2）调整过程④决定调整量d=dvt,令u=vt.⑤若u点标号为(v+,du),则以fvu+d代替fvu;若u点标号为(v−,du),则以fvu−d代替fvu.⑥若v=vs,则去掉所有标号转⑴重新标号;否则令u=v,转⑤.算法终止后,令已有标号的点集为S,则割集(S,Sc)为最小割,从而Wf=C(S,Sc).用MATLAB程序代码（见附件1）实现Ford--Fulkerson标号法求雨水管道最大流。求得最大流的流量为Q=1.34945.1.4计算50000元经费改进后排水网络的最大流确定替换管道。根据流体惯性物理性质，快速流动的流体不易转换方向，如下图中从2x集水口进入的雨水在经过检查口2v时,分析可得几乎所有雨水量都会由26-vv流出，所以下图红框中的管道不能有效地发挥作用。查询资料（见附件2）可得排水管道的规格与价格，使用50000元经费只可以更换某一段管道，为将图中M区域的管道合理利用，遂将22x-v段管径为250mm管道替换为管径为900mm的管道，并保持管道的坡度0.0045不变。利用公式21321=VRin计算现有22x-v的流量，替换后的管道流量为0.9203/ms。利用5.1.2中的模型，求得替换后此排水网络的最大流为Q=1.94813/ms。5.1.6计算500000元经费改进后排水网络的最大流MM查询资料（见附件2）可得排水管道的规格与价格，使用500000元经费可以更换部分管道，为将图中M区域的管道合理利用：将22x-v段管径为250mm管道替换为管径为900mm的管道，并保持管道的坡度0.0045不变，消耗42300元；13将45x-v段管径为1000mm管道替换为管径为1600mm的管道，并保持管道的坡度0.002不变，消耗123500元；1将37v-v段管径为500mm管道替换为管径为1600mm的管道，并保持管道的坡度0.001不变，消耗134500元；9将33-vx段管径为450mm管道替换为管径为1000mm的管道，并保持管道的坡度0.0015不变，消耗55000元；8将74-yv段管径为700mm管道替换为管径为1400mm的管道，并保持管道的坡度0.001不变，消耗76000元；18以上改造一共花费431300元；此次改造后通过以上公式计算可得各管道的流量（3/ms）大小，具体结果见下表：li1234567数值2.6980.18031.28380.18030.38830.04920.8868li891011121314数值1.7081.9080.08651.08610.22080.2761.1448li15161718192021数值0.54910.05680.11091.7453.37530.11840.0492求得替换后此排水网络的最大流为Q=2.94713/ms。5.2排水网络的改进5.2.1背景知识暴雨等级与降雨量的关系登陆中国气象局网站[5]，得到暴雨等级与降雨量有以下关系：暴雨预警信号分四级，分别以蓝色、黄色、橙色、红色表示。（一）暴雨蓝色预警信号标准：12小时内降雨量将达50毫米以上，或者已达50毫米以上且降雨可能持续。（二）暴雨黄色预警信号标准：6小时内降雨量将达50毫米以上，或者已达50毫米以上且降雨可能持续。（三）暴雨橙色预警信号标准：3小时内降雨量将达50毫米以上，或者已达50毫米以上且降雨可能持续。（四）暴雨红色预警信号标准：3小时内降雨量将达100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续为了简化模型，在次假设暴雨均匀持续进行，因此降雨量与暴雨预警信号级别的关系如表2：改造措施：Step1:将22x-v段管径为250mm管道替换为管径为900mm的管道，并保持管道的坡度0.0045不变，消耗42300元；此管道流量增加至2.7583m/sStep2:将45x-v段管径为1000mm管道替换为管径为1600mm的管道，并保持管道的坡度0.002不变，消耗123500元；此管道流量增加至2.6983m/s两步改造共消耗经费165800元。运用5.1中的模型求解得Q=1.61823m/s。由假设此区面积为S=621.510m，红色暴雨强度条件下，降雨量为334.99510mV。排水网络一小时排水量35825.52mVV,所以此时排水管道可以抵御红色暴雨强度降雨的袭击，消耗经费165800元。六、参考文献（1）耿少阳《最大流算法在城市排水网中的应用》成都科技通报2012年4月（2）杨晓萍杨国志赵方陈洪仁《多起终点交通流的城市道路网容量计算》华东公路（3）刘云智《网络限制条件下的最大流问题》新疆实用技术研究2009年1月（4）姜启源谢金星叶俊，《数学模型》北京高