数学建模作业2

正规战与游击战摘要早在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型。正规战争模型便是其中的一种。本题运用函数积分等方法来对于双方都是采用正规**作战方式进行分析。第一问中甲方士兵人数减少了ay，同理，甲方可以将乙方士兵杀死，乙方人数减少了bx。在此条件下分析只考虑减员率，*一方剩余人数多或者说*一方杀死的人多即获得胜利。第二问即在双方在战争时，甲方在战斗开始有后备**来增援，虽然有士兵战死，但与此同时有相应的士兵替补，在后备**以r的速率增加士兵时，根据一般战争模型列出微分方程，最终可求出甲乙双方某时刻剩余的士兵数，通过比较士兵数量来推算出最后*一方将会获得胜利。关键词:一般战争模型正规**减员率一、问题重述甲乙双方进行战争，用建模的思路和方法来判断整个战争的结局。二、问题假设一般战争模型用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人数，假设：1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，甲乙方的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示。2、每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比。3、甲乙双方的增援率是给定的函数，分别用u(t)和v(t)表示。由此可以写出关于x(t),y(t)的微分方程为X(t)=-f(x,y)–mx+u(t),m0y(t)=-g(x,y)–nx+v(t),n0（1）4、1）忽略非战斗减员情况2）忽略由于生病或其他情况引起的人员减少3）忽略交战双方的**、经济、社会等因素三、问题分析甲乙双方都用正规**作战，我们只需分析甲方的战斗减员率f(x,y)。甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即f=ay.a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数。a可以进一步分解为a=rypy，其中ry是乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数），py是每次射击的命中率。类似地，有g=bx,且甲方的战斗有效系数b=rxpx,rx和px是甲方的射击率和命中率，于是，在这个模型中方程（1）化为X=-ay–mx+u(t)y=-bx–ny+v(t)（2）在分析战争结局时忽略非战斗员一项（与战斗减员相比，这项很小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是x0和y0，方程（2）简化为X=-ayY=-bx（3）X(0)=x0,y(0)=y0由方程（3）可知，双方兵力x(t),y(t)都是单调减函数，不妨认为兵力先减至0的一方为负方。为了得到双方胜负的条件，不必直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律。由方程（3）可得dydx=𝑏𝑥𝑎𝑦（4）其解为ay2–bx2=k（5）注意到方程（3）的初始条件，有k=ay02-bx02（6）如果k0,轨线将与y轴相交。就是说存在某时刻t1,使x(t1)=0,y(t1)=√𝑘𝑎0,即当甲兵力为0时乙方兵力为正值，表明乙方获胜。同理可知，当k0时甲方获胜，而当k=0时双方平战。进一步分析某一方比如乙方取胜的条件，由（6）式并注意到a,b的含义，乙方获胜的条件可表示为：（𝑦0𝑥0）2𝑏𝑎=rxpx𝑟𝑦𝑝𝑦（7）所要解决的问题：可以说明，双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响着战争的结局。现设乙方与甲方的战斗有效系数之比a/b=4，初始兵力x0,y0相同。（1）问乙方取得胜时剩余兵力***，乙方取得的胜利如何确定？（2）若甲方在战斗开始后有后备**以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负？四、模型的建立与求解针对第一问，可根据题意，甲方减少人数为ay,乙方减少人数为bx，甲方初始人数为x0，乙方初始人数为y0,用x(t)，y(t)表示在t时刻交战时甲乙双方的人数，可得：𝑑𝑥𝑑𝑡=-ay𝑑𝑦𝑑𝑡=-bxX(0)=x0,y(0)=y0求得乙方取胜时的剩余兵力为：Y(t1)=√𝑎𝑦02−𝑏𝑥02𝑎=√32𝑦0乙方取胜时间t1,需求解方程（3），解得X(t)=[(𝑥0−𝑦0√𝑎𝑏)𝑒√𝑎𝑏𝑡+(𝑥0+𝑦0√𝑎𝑏)𝑒−√𝑎𝑏𝑡]/2令x(t1)=0,a/b=4,解得t1=𝐼𝑛34𝑏针对第二问，因为甲方有增援，且以r的速率增加，列出相应方程如下：𝑑𝑥𝑑𝑡=-ay+r𝑑𝑦𝑑𝑡=-bxX(0)=x0,y(0)=y0由此可得𝑑𝑥𝑑𝑦=−𝑎𝑦+𝑟−𝑏𝑥,即bxdx=aydy-rdy,通过积分可得相轨线为ay2-2ry-bx2=k,ay02-2ry-bx02=k将此方程化为a(y-𝑟𝑎)2-bx2-𝑟∗𝑟𝑎=k乙方取得胜利的条件为k0,即a(y-𝑟𝑎)2-bx2-𝑟∗𝑟𝑎0五、模型的推广与评价5.1、模型优点该模型可以简单方便的反应在正规作战情况下，忽略其他次要因素来判断作战双方谁会获得胜利。5.2、模型缺点该模型仅适用于正规作战，但实际生活中往往不是如此，很多其他因素会不可避免的影响作战情况，也不一定双方都采用正规作战，也可能是游击战，也可能是混合战，所以该模型的分析情况还是有些片面。5.3、模型的推广可将模型推广为混合站模型来更精确分析数据。六、参考文献[1]姜启源等编写，数学模型（第四版），高等教育出版社，2011年1月第四版