数学建模实验教案

1《数学实验》第一讲MATLAB简介⒈MATLAB软件的界面风格，常用的窗口命令和菜单选项界面风格（略）常用的窗口命令和菜单选项：clc:清除命令窗口中显示内存clf:清除图形窗口clear:清除内存中的变量who,whos:列出内存中的变量（以及属性）help:edit:format[,long,short,lnge,shorte,shortg,]:定义输出格式菜单选项：主要介绍file,edit,windows,help四个菜单⒉变量的命名，基本运算，常用的函数变量名的第一个字符必须是英文字母，最多可达31个字符；变量名中不能含有空格和标点符号；变量名和函数名对字母的大小写是由区别的。变量名和函数名不得使用以下的预定义变量：ans,eps,Flops,Inf,inf,pi,NaN,nan,nargin,nargout,realmax基本运算：“+”:加法；“－”：减法；：“*”：乘法；“/或\”：除法；“^”：乘幂例如：3/4，3\4，3^4，4^3常用函数：)(),(),(),(),,mod()cot(),tan(),cos(),sin(),csc(),sec(),cot(),tan(),cos(),sin(),log(),exp(xfixxceilxfloorxroundnmxaxaxaxaxxxxxxxx例如x=12;c=round((cos(x)/log(x))^2+atan(x));⒊标点符号的使用，数组和矩阵的生成以及运算标点符号：“空格和逗号”：输入量与输入量，数组元素之间的分隔符。“句号”：数值运算中的小数点。“分号”：不显示运算结果，也是数组行与行的分隔符。“冒号”：缺省标志，表示全部。“％”：由它起始的行为注释行。“‘’”：字符串标记。“[]”：输入数组标记。例如a=4*2+2^5;2b=[12;3,5.1]c=’sin(2*pi*x)+ceil(-1.28)’%d=a+b+ce=b(1,:);f=b(:,2);g=b(:)数组和矩阵的生成以及调用：⑴一维数组生成方式有两种：①x=[12*pisin(pi/2);-4,5.1,3.5]②x=a:step:b请学生尝试改变a,bstep的值，看看结果如何。调用：x(i):调用数组的第i个元素rand(k,l):产生一个k×l的随机数组x(1:3)=[123]:给数组的前三个元素赋值a=x(3:-1:1)：将数组的前三个元素倒序后生成一个新的数组find(x1):找出数组x的大于1的元素的下标x(find(x1)):由数组x的大于1的元素构成一个子数组并保持原来的顺序⑵二维数组生成方式与一维数组相同，只是行与行之间必须以分号隔开调用:a(I,j):表示a的第i行第j列元素a(I,:):第i行的所有元素a(:,j):第j列的所有元素a(:):a的所有元素a(k):a的第k个元素，按列数⑶特殊数组eye(n,n):生成n维单位矩阵ones(m,n):生成全是1的矩阵zeros(m,n):生成全是0的矩阵rand(m,n):生成m行n列的随机矩阵randn(m,n):生成正态分布的m行n列的随机矩阵diag(a):提取a的对角线向量或者以向量a为对角线形成一个对角矩阵数组和矩阵的运算：a+b:对应元素相加；a-b:对应元素相减a*b:矩阵相乘；a.*b:对应元素相乘a/b:a右乘b的逆；a./b:a的元素除以b的对应元素a\b:与上面类似；a.\b:与上面类似a’:转置3a^x:矩阵的幂；a.^x:矩阵元素的幂x+a:标量x与矩阵a的元素相加x*a:标量x与矩阵a的元素相乘inv(a):矩阵a的逆例如a=eye(3,3);b=a+4.1;a(2,3)=-2;a’;inv(a)a.*b,a*b;b./ab/aa^2⒋脚本文件的生成和运行脚本文件的编辑环境：⑴在MATLAB的命令窗口输入edit⑵在MATLAB的file选项中选择new---M-file运行：只需在命令窗口中输入M文件的名字即可在M文件的编辑中，只需将相关命令依次输入，然后保存即可例⒈建立一个名为examp的M文件，用于计算n!jirguo=1;fori=1:njieguo=jieguo*I;endjieguo例⒉已知函数111010)(2xxxxexfx求)5.0(f，)5.0(f，)2.1(fy=0;ifx0xey;elseifx11y;else12xy;endy作业：1.将任意一个自然数反序2.输入一个n阶方阵并求它的逆3.输入一个数组，求出其中所有大于1.5的元素之和4.建立一个m文件用于计算!1!51!41!31!21n第二讲利用MATLAB加深对微积分中的基本概念的理解1.极限与间断点极限limit(f,x,a)：求函数f(x)在x趋于a时的极限limit(f,x,a,’left’):求函数f(x)在x趋于a时的左极限limit(f,x,a,’right’):求函数f(x)在x趋于a时的右极限例题1.30sinlimxxxx4命令limit((x-sin(x))/(x^3),x,0)例题2.xxxx)23(lim命令limit(((x+3)/(x+2))^x,x,inf)例题3.观察函数xy1cos在0x时的极限过程x=1:-0.01:0;y=cos(1/x);plot(x,y)例题4.422coslimxexxaxsymsxlimit((cos(x)-exp(-x^2/2))/(x^4),x,0)例题5.nnnln)ln(ln1limsymsnlimit(1/(log(log(n)))^log(n),n,inf)例题6.观察函数xxxxy)1(sin5.05.0xx的图像,理解可去间断点,无穷间断点以及跳跃间断点的概念x1=-2:0.01:0.5;x2=0.51:0.01:1y1=sin(x)/(x*(x+1));y2=x2;x=[x1,x2];y=[y1,y2];plot(x,y)2.无穷大量与无界函数例题7.观察函数xxy1cos1在0x时的极限过程,理解无穷大量与无界函数的区别x=1:-0.01:0;y=(1/x)*cos(1/x);plot(x,y)3.函数的导数和积分导数diff(f,x,n):函数对x求n阶导数例题8.求函数)()1ln(22xtgxeyx的一阶和二阶导数5symsxy=’exp(2*x)*log(x^2+1)*tan(-x)’;diff(y,x)diff((diff(y,x),x)diff(y,x,2)观察一下后两个命令的运算结果例题9.)1ln(cos22xxeyx求y的一阶和三阶导数symsxf=‘exp(x^2)*cos(x)/log(1+x^2)';diff(f,x)diff(f,x,3)例题10.xyayxztan)ln(22求yxz2symsxsymsyz='log(x^2+y^2)/atan(y/x)';diff(z,x)diff(diff(z,x),y)积分int(f，v):求函数f对变量v的不定积分int(f,v,a,b):求函数f对变量v在区间[a,b]上的定积分以上两个函数中当v缺省时，表示对符号变量的积分例题11.dxxx)1ln(2symsx;y='x*log(1+x^2)';int(y,x)例题12.dxxxx5024312symsx;y='x^3/(x^4+2*x^2+1)';int(y,x,0,5)例题13.10sinyyxdxxdysymsxy;f='x*sin(x)';int(int(f,x,y,sqrt(y)),y,0,1)例题14.求函数22xxey和211xxy的不定积分6symsxf1=’x*exp(-x^2/2)’;f2=’1/(x*sqrt(1+x^2))’;int(f1,x)int(f2)例题15.求下列定积分dxx10211和dxxxctgx4043sin1sinsymsxy1=’1/sqrt(1+x^2)’y2=’(sin(x))^3/((1+(sin(x))^4)*tan(x))’int(y1,x,0,1)int(y2,x,0,pi/4)4.解方程例题16.求方程xx13在0到1之间的根f=inline(‘x^3+x-1’)x=fzero(f,[0,1])x=fzero(f,0.5)例题17.求微分方程'''1yy满足1)0(y,0)0('y的特解dsolve(‘d2y=1+dy’,’y(0)=1’,’dy(0)=0’),第三讲极坐标以及函数的图像函数图像的描绘⒈极坐标的定义和点的坐标，点的极坐标和直角坐标之间的联系sincosryrx其中沿逆时针旋转时为正，沿顺时针旋转时为负，为整数。表示同一个点，其中与kkrr)2,(),(⒉极坐标下常见曲线的方程圆sin2)(cos2)(222222222RrRRyxRrRyRxRrRyx极坐标下为极坐标下为极坐标下为圆锥曲线，包括椭圆，双曲线，抛物线的极坐标方程是7cos1epre是离心率，p是左焦点与左准线之间的距离，极坐标的极点在左焦点心形线)cos1(ar阿基米德螺线ar双纽线2cos22ar⒊极坐标曲线图像的描绘xx_theta=0:0.1:2*pi;xx_rou=4*(1+cos(xx_theta));ajmd_theta=0:0.1:8*pi;ajmd_rou=2*ajmd_theta;sn_theta=0:0.1:2*pi;sn_rou=8*cos(2*sn_theta);c=find(sn_rou0);sn_rou(c)=0;subplot(1,3,1)polar(xx_theta,xx_rou)subplot(1,3,2)polar(ajmd_theta,ajmd_rou)subplot(1,3,3)polar(sn_theta,sn_rou)4.MATLAB中的几个绘制函数图像的命令plot(x,y,’s’):x,y为实向量，x为横坐标，y为纵坐标，s是可选参数，用来指定曲线的线形，颜色，数据点的形状等。当x，y之中至少有一个是矩阵时，可以绘制多条曲线。polar(theta,rou):用于绘制极坐标曲线ezplot(f,[a,b]):用于绘制函数f在区间[a,b]上的曲线，该命令还可用于绘制隐函数0),(yxf的图像，具体命令格式为：ezplot(‘f’,[xmin,xmax,ymin,ymax])plot3(x,y,z,’s’):用法与plot完全相同，用于绘制三维曲线grid:在地层绘制三维网格meshgrid(x,y):用向量x,y产生一个格点矩阵8mesh(x,y,z,’s’):绘制网线图，它的两个同种函数meshc:画网格图和基本的等值线图meshz:画含零平面的网格图surf(x,y,z,’s’):绘制曲面图，它的两个同种函数surfc:画出具有等值线的曲面图surfl:画出一个有亮度的曲面图holdon(off):保持或不保持屏幕，用于将两个图形重叠画出shadingflat:各个曲面块之间平滑加色彩，连接处的黑线已被去掉shadinginterp:插值加色彩title(‘sssssss’):加台头xlable(‘xx’):xx是x轴的说明，同理，还有y,z轴的说明ezmesh,ezsurf:曲线和曲面的简单画法grid,title,轴说明等必须放在画图语句之后。5.举例例1.的图像画出函数)1sin()(2xexfxx=-1:0.1:5;y=exp(x)+sin(x.^2-1);plot(x,y)例2.画出函数)1ln(2tzeytxt的图像t=-0.9:0.1:5;x=t.^2;y=exp(t);z=log(1+t);plot3(x,y,z)grid,xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis')例