数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

数学建模案例分析灰色系统方法建模§2灰色预测模型GM(1,1)及其应用蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。一、灰色预测模型GM（1,1）建模步骤如下：（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：uaXdtdX)1()1(（1）式中，ua,是需要通过建模来求得的参数；)1(X是原始数据)0(X的累加生成（AGO）值。（2）将同一数据列的前k项元素累加后生成新数据列的第k项元素，这就是数据处理。表示为：knnXkX1)0()1()()(（2）不直接采用原始数据)0(X建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。（3）对GM（1,1），其数据矩阵为1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(NXNXXXXXB（3）向量TNNXXXY)](,),3(),2([)0()0()0(（4）作最小二乘估计，求参数ua,NTTYBBBua1)(ˆ（4）（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为aueauXtXat))1(()1(ˆ)0()1(（5）这就是要建立的灰色预测模型。数学建模案例分析灰色系统方法建模二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm2）情况下的蠕变断裂时间见下表。数列序数K12345载荷应力（kg/mm2）3736353433断裂时间（)(100)0(KX小时）2.382.804.256.8511.30一次累加数列)()1(KX2.385.189.4316.2827.581、建立GM（1,1）模型表中一次累加数列)()1(kX是根据断裂时间数列)()0(kX，由公式（2）得到的。例如，31)0()1(43.925.480.238.2)()3(nnXX。按（3）构造矩阵19.2118.12130.7178.3B，TNY]3.11,85.6,25.4,80.2[，代入（4），可得97.05.0ˆ，按（5）可得到模型（1）的解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(tetX，取t为应力序数k时，由2.24.4)1(ˆ5.0)1(kekX（6）即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1(kkX。2、检验当4,3,2,1k时，由（6）式得出]3.30,52.17,76.9,05.5[)1(ˆ)1(kX，而由表中得出]58.27,28.16,43.9,18.5[)1()1(kX，计算出平均相对误差为0.04，这一精度是相当理想的。3、预测由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生成数列中的各个数据。特别是估计序数5以后的数据，就更有实际意义了。轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻1公斤，试验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要了。下面，我们根据（6）式来预测载荷32kg/mm2的断裂时间。它对应的序数为6，也就是要求出)6()1(X和)6()0(X。由（6）式得4.51)6()1(X，从表中查得)5()1(X27.58再由)6()0(X=)6()1(X)5()1(X23.82，这说明，在载荷32kg/mm2下，此种材料大约经过2382小时断裂。