数学建模论文sars

数学建模论文论文题目：北京SARS的传播研究姓名:熊坤学号:130101224专业:机械设计制造及其自动化姓名:何红学号:130701231专业:信息与计算科学姓名:劳洁琼学号:140404317专业:通信工程摘要SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，给我过社会和经济带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。为提高人们对疾病的SARS的认识并通过数学方法控制疫情的传播，本文对北京市的SARS传播问题建立了数学模型，针对疫情传播特点，构建控前模型和控后模型。针对问题一：本文研究附件一的模型N(t)=NO(1+K)，分析得出模型是基于现实中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势。因此该模型具有的合理性。针对问题二：对于附件1的模型建立优于它控前模型和控后。根据定义与假设列出相应的所需的方程组，由直接拟合推导各个参数存在较大的困难，因此采用整体拟合。再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的SARS病毒感染者，整理相应的数据；最后预测北京最终的累计感染非典人数。据此，在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。针对问题三；通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。列举如下：(1)时域因素a．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。b．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期因为研究人员的认识程度不足，没有及时设计并采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。(2)地域因素a．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市严重。b由政治（政府对传染病的措施和重视程度）、经济（如该地区用于医疗事业的费用）、文化（群众对传染病的认识）、科技（如医学技术）水平所决定，发达地区对突发传染病的控制能力强，能有效控制，欠发达地区控制能力弱，易爆发严重疫情。c．气候：SARS适合在春秋两季传播，且各城市的气候不同，疫情程度不同。综上我们认为一个较好的传染病传播模型因该具有如下功能：a．能较好的描述疫情的大致走势。b．能较精确的给出关键时间（初期爆发时刻；中期稳定时刻；高峰期；0病例增长的时刻），以便政府和卫生部门针对不同作出及时而正确的措施。c．能给出描述疫情的指标，以便政府和卫生部门决定其各项工作的力度。关键词：SARS疫情趋势传染病控前模型传染病控后模型人群分类微分模型整体拟合回归分析1、问题重述1.1问题的背景严重急性呼吸综合征（SevereAcuteRespiratorySyndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。首发病例，也是全球首例。于2002年11月出现在广东佛山，并迅速形成流行态势1.2问题的概述现阶段北京SARS的传播正处于高峰期。由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立控前模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的控后模型。相关信息（见附件1、2、3）附件1SARS疫情分析及对北京走势的预测附件2北京市疫情的数据附件3北京市接待海外游客人数附件4相关编程1.3问题的提出问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。问题二：建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型，对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。问题三：影响SARS传播因素以及对SARS疫情期间北京疫区人群进行分类。二．数学模型的分析与建立2.1分析与假设将人群分为四类：健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例。潜伏期者（已感染，尚未发病）：用E表示他们在人群众的比率。发病期者(已发病者)：用I表示病人在人群中的比例。退出者(死亡者)：用R表示退出者在人群中的比例。2.2模型的建立1．参数设定1——每个病人平均每天有效接触（足以使被接触者感染）的人数。q——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。l——（流入）流出人口占本地总人口的比率。1——处于潜伏期的病人的日发病率。P——流入人口中带菌者所占的比例。2．控前方程的建立根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：ISdtdS1（1）LELPEISdtdE11（2）qIEdtdI1（3）qIdtdR（4）0000,,,ERIS（初值）3．参数的确定1)1——根据医学资料和有关数据推导而得。2)q——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。3)l——由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。可查有关资料。4)1——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。5)P——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。II控后模型的建立1．参数设定2——不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。q——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。β——接触病源的人的发病率。ε——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。2．控后方程的建立根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：(5)qIGdtdI(6)qIdtdR(7)（8）GSdtd2(9)00000,,,,ERIS（初值）SdtdS2GGGSdtdG2在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题:(1)该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。(2)从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定作了改动：我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者”，用Y和M分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：疑似者：所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。自由带菌者：不可控的病毒携带者。综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：III控后优化模型的建立1．参数说明1y——疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例；2y——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；——每个自由带菌者转化为病人的日转化率；2——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率；2．方程的建立MSYydtdS21(10)YyqIMdtdI2(11)qIdtdR（12）MSYyYydtdY221(13)MMSdtdM)1(2(14)注00000,,,,MYRIS为初值3．参数的确定鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的分析方法。1)1y——疑似者的日排除比例：计算公式：1y=当天疑似病例累计人数数每天新增的疑似排除人以北京为例说明：首先我们直观的观察一下y1的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的y1（见后面列表5），用matlab画图，如下图1所示：图1初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：（光滑的线为cubIc拟合曲线）图2可以看出y1大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制初期市民有较恐慌的心理，导致疑似病例中非感染者比例较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。虽然三阶拟合能在一定程度上反映y1的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图3：图3其中，平直的线为lIneaR拟合直线。再用威布尔分布观察一下处理后的y1的值的分布情况，如图4所示：（对威布尔分布做解释）图4可以看出y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。2)2y——疑似转化为病例的日转化比：计算公式：2y=当天疑似累计人数确诊的人数每天新增的疑似转化为以北京为例同y1的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的y2（见后面的列表5）的变化趋势如下图5所示：图5原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图6：图6从原始数据可以看出y2总的趋势是下降的，先用曲线拟合处理一下如图7：（光滑的线是y2的五阶拟合线）图7显然，y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者较多，还有一个较大的峰值。最后，我们依然用威布尔分布来观察一下y2的值的分布情况，如图8所示：图8可以看出y2的值主要分布0.05%—2%之间，但是y2不同于y1的分布那么均匀，所以我们不能用一个有效值来取代y2的值。在这里，我们把y2的值分布人为划分为两个阶段值：2.229%和0.59%。如下图9所示，y2的两个有效值分布在中直线的两侧。图9从对y1与y2的数据处理来看，我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段：过渡期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期，所以在强化控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于非典潜伏期，这一部分人最终将转化为非典病人；且因为他们为自由带菌者，在被收治以前会传染较多的人；加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间，所以上述原因直接导致了过渡期的形成，其特征为：y2较大，q（退出率）较小。（有关q的分析见对q数据处理）3)q的计算公式=当天病人累计人数的人数每天新增的治愈和死亡以北京为例：从q的原始数据（见附表5）中我们可以看出，q的值也存在阶段性。5.16日以前，q的值大概在1%左右摆动，不存在较大的波动；而5.16日以后,q的值基本都在1%以下。由于q的定义中包括了治愈率与死亡率两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减少，治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡期和平稳期的假设是吻合的。4)——从数据可推算出其值在12%—30%之间我们在这里令%20。5)——与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计%90~%703．模型的求解：很明显从我们建立的模型是无法得到s，i，r，y，m的解析解的。为了解决这个问题，我们求助于matlab中的龙格—库塔方法来求出它们的数值解。