数学建模课件第六讲微分方程模型.

第六讲微分方程模型(一)6.1传染病模型6.2为什么要用三级火箭发射人造卫星6.1传染病模型欧洲人征服美洲:靠的不是枪炮,而是一连串的瘟疫。1518－1526年天花流行，1530-1531年爆发麻疹，1546年斑疹伤寒、1558-1559年流感。90%的美洲原住民死于这些疾病。第一次世界大战期间：随着军队的行程，流感随之在全球范围内爆发并导致大约4000万人口死亡。第二次世界大战期间：伊姆法尔战役，是日军在印度对英军实施的一次进攻性战役。该地区流行疟疾、痢疾、伤寒、霍乱等传染病，近10万人的军队只剩下万余名官兵。在旷日持久的战争中，疾病减员常常数倍于战伤减员，传染病引发的军人死亡数常常超过战斗死亡数。问题■描述传染病的传播过程■分析受感染人数的变化规律■预报传染病高峰到来的时刻■预防传染病蔓延的手段问题分析影响传染病传播的因素:传染者的数量及分布,被传播者数量,传播形式,传播能力,免疫能力人群分为三类:易感类(S类)、传播类(I类)、排除类(R类)目标:通过分析这三类人群的变化情况来研究传染病的传播规律及预防措施基本假设■总人数不变,不考虑生死和迁移■传播方式为接触,人员均匀分布sidtdi1)()(titsSI模型只分已感染者和未感染者模型假设1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2)每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病模型建立ttNitstittiN)()]([)]()([0)0()1(iiiidtdiLogistic模型日接触率初始时刻病人比例1/2tmii010t011ln(1)mittm为传染病高峰到来时刻tm1it未考虑:病人可以治愈!?设t=tm,di/dt最大相应的解为当i=1/2时,di/dt最大i(t)~t图形011()1(1)tiiteSIS模型传染病无免疫性:病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染假设3)病人每天治愈的比例为ttNittitNstittiN)()()()]()([模型建立/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数0)0()1(iiiiidtdi)]11([iidtdi日治愈率1,01,11)(ii0i0接触数=1~阈值1()it感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0di/dt~i、i(t)~t图形()it01i较小按S形曲线增长SIR模型传染病有免疫性:病人治愈后即移出感染系统,称为移出者模型假设1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为,满足)(),(),(trtsti2)病人的日接触率,日治愈率,感染期接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()]()([ttitNststtsN)()()]()([很小）通常000)0((1rrsi00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss()lnsississ0001/消去dt}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D分析D内相轨线的图形)(sisi101D()lnsississ0001传染病蔓延传染病不蔓延P1s0/1ims01/i(t)先升后降至0s01/i(t)单调降至0P2P4P3S0箭头表示相轨线的方向1/~阈值预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件:s01/■降低s0提高r01000ris■提高阈值1/,群体免疫降低(=/)6.2为什么要用三级火箭来发射人造卫星我国长征系列火箭升空中国长征运载火箭长征一号为三级火箭，主要用于发射近地轨道小型有效载荷，1970年4月24日将中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”送入近地轨道，使中国成为世界上第五个能自主发射卫星的国家长征二号系列为两级火箭，主要用于发射近地轨道卫星和飞船长征三号系列为三级火箭，主要用于发射高轨道卫星长征四号系列为三级火箭，主要用于发射风云气象卫星和资源卫星等三级火箭结构图为什么不能用一级火箭,而必须用多级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统？问题(1)卫星能在轨道上运动的最低速度为什么不能用一级火箭发射人造卫星?(i)卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动(ii)地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。假设分析根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为2GMmFr在地面有2GMmmgR得2GMgR2RFmgr故卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心力,故：2mvFr从而gvRrR为地球半径约为6400公里卫星离地面高度(公里)卫星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86设g=9.81米/秒2，得:(2)火箭推进力及速度的分析火箭重力及空气阻力均不计记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t),有记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u(常数),由动量守恒定理：()()()dmmttmttotdt()()()()(())(())dmmtvtmttvtttotvtudt得dvdmmudtdt由此解得：00()ln()mvtvumtυ0和m0一定的情况下,火箭速度υ(t)由u及质量比决定假设分析连续可微函数dmm-dmvu-v(3)目前技术条件下一级火箭末速度的上限现将火箭—卫星系统的质量分成三部分：(i)mp(有效负载,如卫星)(ii)mf(燃料质量)(iii)mS(结构质量,如外壳、燃料容器及推进器)最终质量为mP+mS,初始速度为0,所以末速度：0lnpsmvumm目前,u只能达到3公里/秒,mS≥(mf+mS)/10,即使发射空壳火箭，其末速度也不超过7.0公里/秒目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。00()ln()mvtvumt如果结构质量在燃料燃烧过程中也不断减少,末速度能达到要求吗？0lnpsmvumm理想火箭模型假设：记结构质量mS在mS+mf中占的比例为λ，假设火箭能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以λ与（1－λ）的比例同时减少。理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP()()()()()(1)(())()dmdmmtvtmttvtttvttvtuotdtdt由动量守恒得得(1)dvdmmudtdt0()(1)ln()mvtumt只要m0足够大，可以使卫星达到任意速度考虑到空气阻力和重力等因素，估计发射卫星要使υ=10.5公里/秒才行，如果取u=3，λ=0.1，则可推算出m0/mp约为51，即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭。最终速度：0(1)lnpmvum理想过程的实际逼近—多级火箭卫星系统记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。（i）设各级火箭具有相同的λ,即第i级火箭中λmi为结构质量,（1－λ）mi为燃料质量。（ii）设每级初始质量与其负载质量之比保持不变,并记比值为k。如二级火箭中m1=k(m2+mP),m2=kmP假设考虑二级火箭：当第一级火箭燃烧完时,其末速度为：12112lnppmmmvummm当第二级火箭燃尽时，末速度为：2122212122lnlnppppppmmmmmmmvvuummmmmmm00()ln()mvtvumt代入m2=kmP,m1=k(m2+mP),u=3公里/秒,λ=0.1,可得1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使υ2=10.5公里/秒，则应使:10.5615.750.11kek即k≈11.2，而:12149PPmmmm类似地，可以推算出三级火箭：1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同样假设下:33113ln9ln0.110.11kkkk要使υ3=10.5公里/秒,则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21,k≈3.25,而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77三级火箭比二级火箭几乎省了一半由于工艺的复杂性及每级火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵且制作工艺非常复杂，也可选择二级火箭记n级火箭的总质量(包含有效负载mP)为m0,在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值考虑N级火箭n（级数）12345…∞(理想)m0/mP/149776560…50实例长征三甲(CZ-3A)运载能力2.65吨发射北斗卫星导航系统，起飞质量239.8吨