数学文化2.

数学文化余杭高级中学数学组鲍婷婷第一章概论第一节文化与数学文化第二节数学的语言及其特点第三节数学发展简史§1.3数学发展简史数学的发展史大致可以分为四个本质上不同的时期（阶段）：第一个时期——数学形成时期。这是人类建立最基本的数学概念的时期。第二个时期——初等数学（即常量数学）时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。第三个时期——变量数学时期。第四个时期——现代数学时期。§1.3.1数学形成时期人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，逐步地形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学。这一时期，算术与几何还没有分开，彼此紧密地交错着。§1.4.2常量数学时期这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。在这个时斯逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。按照历史条件不同，可以把常量（初等）数学史分为三个不同时期：希腊的、东方的和欧洲文艺复兴时代的时期。希腊时期正好与希腊文化普遍繁荣的时代一致。到公元前3世纪，在最伟大的古代几何学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯的时代达到了顶峰，而终止于公元6世纪，当时最光辉的著作是欧几里得的原本。尽管这部书是两千多年以前写成的，但是它的一般内容和叙述的特征，却与我们现在通用的几何教科书非常相近。希腊人不仅发展了初等几何，并把它导向完整的体系，还得到许多非常重要的结果。例如，他们研究了圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线；证明了某些属于射影几何的定理，以天文学的需要为指南建立了球面几何，以及三角学的原理，并计算出最初的正弦表，确定了许多复杂图形的面积和体积。在算术与代数方面，希腊人也做了不少工作。他们奠定了数论的基础，并研究丢番图方程，发现了无理数，找到了求平方根、立方根的方法，知道算术级数与几何级数的性质。应该指出，远在这以前好几个世纪，我国的算术和代数已达到很高的水平。在公元前2世纪到l世纪已有了三元一次联立方程组的解法。同时在历史上第一次利用负数，并且叙述了对负数进行运算的规则，也找到了求平方根与立方根的方法。在几何方面希腊人已接近“高等数学”。阿基米德在计算面积与体积时已接近积分运算，阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的研究接近于解析几何。随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家。在这些地方，从5世纪到15世纪的一千年中间，数学主要由于计算的需要，特别是由于天文学的需要而得到发展。印度人发明了现代记数法，引进了负数，并把正数与负数的对立和财产与债务的对立及直线上两个方向的对立联系了起来。他们开始像运用有理数一样运用无理数，他们给出了表示各种代数运算包括求根运算的符号。由于他们没有对无理数与有理数的区别感到困惑，从而为代数打开了真正的发展道路。“代数”这个词本身起源于9世纪的数学家和天文学家——穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花拉子米。花拉子米的著作基本上建立了解方程的方法。从这时起，求方程的解作为代数的基本特征被长期保持了下来。他的代数著作在数学史上起了重大作用，因为这部作品后来被翻译成拉丁语，曾长期作为欧洲主要的教科书。中亚细亚的数学家们找到了求根和一系列方程的近似解的方法，找到了“牛顿二项式定理”的普遍公式，他们有力地推进了三角学，把它建成一个系统，并造出非常准确的正弦表。这时中国科学的成就开始传人邻国。约在公元6世纪我国已经会解简单的不定方程，知道几何中的近似计算以及三次方程的近似解法。到16世纪，所缺少的主要是对数及虚数，还缺乏字母符号系统。正像在远古时代，为了运用整数，应该制定表示它们的符号一样，现在为了运用任意数并对它们给出一般规则，就应该制定相似的符号。这个任务从希腊时代就开始而直到17世纪才完成，在笛卡儿和其他人的工作中最后形成了现代符号系统。在科学复兴时期，欧洲人向阿拉伯学习，并且根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学。从阿拉伯沿袭过来的印度计数法逐渐地在欧洲确定了下来。16世纪，欧洲科学终于越过了先人的成就。例如意大利人塔尔塔利亚和费拉里在一般形式上先解了三次方程，然后四次方程。在这个时期第一次开始运用虚数。现代的代数符号也制造出来了，其中不仅出现了表示未知数的字母符号，也出现了表示已知数的字母符号，这是韦达在1591年作出的。正是在这一时期，英国的纳皮尔发明了供天文作参考的对数，并在1614年发表。布里格斯算出第一批十进对数表是在1624年。当时在欧洲也出现了“组合论”和“牛顿二项式定理”的普遍公式；级数知道得更早，所以初等代数的建立是完成了，以后则是向高等数学，即变量数学的过渡。§1.3.3变量数学时期16世纪，封建制度开始消亡，资本主义开始发展并兴盛起来。在这一时期中，家庭手工业，手工业作坊逐渐地改革为工场手工业生产，并进而转化为以使用机器为主的大工业。因此，对数学提出了新的要求。这时，对运动的研究变成了自然科学的中心问题。实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究。作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念。数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段，即向变量数学时期的过渡。数学中专门研究函数的领域叫做数学分析，或者叫无穷小分析。后一名词的来源是，因为无穷小量概念是研究函数的重要工具。所以，从17世纪开始的数学的新时期——变量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期。变量数学建立的第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作“几何学”。这本书奠定了解析几何的基础，它一出现，变量就进入了数学，从而运动进入了数学。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”(恩格斯《自然辩证法》，人民出版社1971年版第236页)。在这转折之前，数学中占统治地位的是常量，而这之后，数学转向研究变量了。在“几何学”里，笛卡儿给出了字母符号的代数和解析几何原理，这就是引进坐标系和利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出了回答如下问题的可能：(1)通过计算来解决作图问题；(2)求由某种几何性质给定的曲线的方程；(3)利用代数方法证明新的几何定理；(4)反过来，从几何方面来看代数方程。因此，解析几何是这样一个数学部门，即在采用坐标法的同时，用代数方法研究几何对象。在笛卡儿之前，从古代起在数学中起优势作用的是几何学。笛卡儿把数学引向另一途径，这就是使代数获得更重大的意义。变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼兹在17世纪后半叶建立了微积分。事实上牛顿和莱布尼兹只是把许多数学家都参加过的巨大准备工作完成了，它的原理却要溯源于古代希腊人所创造的求面积和体积的方法。微积分的起源主要来自两方面的问题：一是力学的一些新问题——已知路程对时间的关系求速度，及已知速度对时间的关系求路程；一是几何学的一些相当老的问题——作曲线的切线和确定面积和体积等问题。这些问题在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿和莱布尼兹。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。除了变量与函数概念以外，以后形成的极限概念也是微积分以及进一步发展的整个分析的基础。微分方程论研究的是这样一种方程：方程中的未知项不是数，而是函数；微分几何是关于曲线和曲面的一般理论；在19世纪还产生了另一个重要分支，即复变函数论，它使分析的内容更加充实。复变函数是将实分析的方法推广到复数域中去了。同微积分一道，还产生了分析的另外一部分：级数理论、微分方程论、微分几何。所有这些理论都是因为力学、物理学和技术问题的需要而产生并向前发展的。分析蓬勃地发展着，它不仅成为数学的中心和主要部分，而且还渗入到数学较古老的范围，如代数、几何与数论。在希腊人那里，数学基本上就是几何；在牛顿以后，数学基本上就是分析了。通过分析及其变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证法渗入了全部数学。同样地，基本上通过分析，数学才在自然科学和技术的发展中成为精确地表述它们的规律和解决它们问题的得力工具。当然，分析并不能包括数学的全部，在几何、代数和数论中都保留着它们特有的问题和方法。比如，在17世纪，与解析几何同时还产生了射影几何，而纯粹几何方法在射影几何中占统治地位。这时还产生了另一个重要的数学部门——概率论。它研究大量“随机”现象的规律问题，给出了研究出现于偶然性中的必然性的数学方法。在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的叙述结束了以前发展的漫长道路。和这种情况相似，随着分析的发展必然引起更好地论证理论，使理论系统化，批判地审查理论的基础等这样一些任务，这些任务是19世纪中叶到来的。这项重要而困难的工作由于许多杰出学者的努力而胜利完成了；特别是获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。理论原则的建立是其发展的总结，但不是它的终结，相反地，正是新理论的起点。分析的情形也是这样，由于它的基础的准确化产生了新的数学理论，这就是19世纪70年代德国数学家康托尔所建立的集合论。在此基础上又产生了分析的一个新部门——实变函数论。同时集合论的一般思想渗入到数学的所有部门。这种“集合论观点”与数学发展的新阶段不可分割地联系在一起，进人数学发展的新阶段。在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的叙述结束了以前发展的漫长道路。和这种情况相似，随着分析的发展必然引起更好地论证理论，使理论系统化，批判地审查理论的基础等这样一些任务，这些任务是19世纪中叶到来的。这项重要而困难的工作由于许多杰出学者的努力而胜利完成了；特别是获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。理论原则的建立是其发展的总结，但不是它的终结，相反地，正是新理论的起点。分析的情形也是这样，由于它的基础的准确化产生了新的数学理论，这就是19世纪70年代德国数学家康托尔所建立的集合论。在此基础上又产生了分析的一个新部门——实变函数论。同时集合论的一般思想渗入到数学的所有部门。这种“集合论观点”与数学发展的新阶段不可分割地联系在一起，进人数学发展的新阶段。§1.3.4现代数学时期数学发展的第一时期与第二时期所获得的主要成果，即初等数学中的主要成果已经成为中小学教育的内容。第三个时期的基本结果，如解析几何(已部分地放人中学)、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校理科教育的主要内容。这个时期的数学的基本思想和结论已广泛地为大众所知道，几乎所有的工程师和自然科学工作者都或多或少地运用着这些结果。近几十年来，数学应用的状况发生着深刻的变化。这些成果逐渐渗透到社会科学研究的各个领域。因而这些内容的一部分已进入文科各系的教学内容。数学发展的现代阶段的开端，以其所有基础部门——代数、几何、分析中的深刻变化为特征。还在19世纪上半叶，罗巴切夫斯基和波尔约就已经建立了新的非欧几何学，它的思想是别开生面的和出乎意外的。正是从这个时候起，开始了几何学的原则上的新发展，改变了几何学是什么的本来理解。它的研究对象与使用范围迅速扩大。1854年著名的德国的数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最重要的步骤。他提出了几何学家能够研究的“空间”的种类有无限多的一般思想，并指出这种空间的可能的现实意义。如果说，以前几何学只研究物质世界的空间形式，那么现在，现实世界的某些其他形式，由于它们与空间形式类似，也成了几何学的研究对象，可采用几何学的各种方法对它们进行研究。因此，“空间”这一术语在数学中获得了新的更广泛的，也是更专门的意义，同时几何学方法本身也大大地丰富和多样化了。欧几里得几何本身也发生了很大的变化。现在可研究复杂得多的图形，乃至任意点集的性质。同样地出现了研究图形本身的崭新的方法，在这些研究的基础上，产生了各种新而又新的“空间”和它们的“几何”：罗巴切夫斯基空间，射影空间，各种不同维数的欧氏空间、黎曼空间、拓扑空