数学模型在机械设计中的应用

I数学模型在机械设计中的应用目录目录.........................................................................................................................................................I第1章绪论...................................................................................................................................11.1数学模型概述..................................................................................................................11.2机械设计..............................................................................................................................11.3机械优化设计..................................................................................................................2第二章数学模型在机械设计中的应用..................................................................32.1数学模型在机械故障诊断技术中的应用.......................................................32.1.1故障诊断技术中的数学模型...............................................................................................32.1.2故障诊断技术中傅里叶变换的使用...............................................................................32.2基于数学模型的圆柱齿轮减速机的设计.......................................................42.2.1基于数学模型的圆柱齿轮减速器的设计的优势.....................................................42.2.2减速器数学模型设计研究.....................................................................................................52.3数学模型在可靠性设计中的应用.......................................................................62.3.1可靠性设计的数学模型..........................................................................................................62.3.2可靠性数学模型分析...............................................................................................................6第3章总结与展望..................................................................................................................8参考文献............................................................................................................................................91数学模型在机械设计中的应用第1章绪论1.1数学模型概述数学模型就是针对或参照某种问题的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构。数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，从不同角度、不同要求出发，可以建立起不同的数学模型。数学模型与我们学习的数学课程有一些区别，它需要熟练的数学技巧、丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读、思考别人的模型，尤其要自己动手，亲身体验。建立数学模型的一般分为以下几步：确定问题系统及变量关系；确定最佳的试验方案和方法；确定合理的模型结构；确定模型中的最佳参数；检验修改模型。首先，基于一系列基本的简化假设，把实际问题中的数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对实际问题的分析、归纳、简化，给出用以描述该问题的数学提法；然后采用数学的理论和方法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究的实际问题，总结一般规律。详细来讲，就是在对目标系统分析的基础上，确定描述问题的变量及相互关系以及问题所属系统，模型大概的类型，提出有关假说。在进行试验时，必须配置性能稳定，要严格保持试验条件稳定，精心操作，详细记录，对数据进行正确的判断、筛选和分析。模型结构反映了实际过程的内在规律，对试验数据的拟合精度有着本质的影响。模型建立之后，能否与生产实际吻合，还需进行重复试验，确认后才能在生产中应用。模型只有在被检验评价、确认基本符合要求。才能被接受，否则需要修改模型，这种修改有时是局部的，有时甚至要全部推倒重来。1.2机械设计机械设计是根据用户的使用要求对专用机械的工作原理、结构、运动方式、力和能量的传递方式、各个零件的材料和形状尺寸、润滑方法等进行构思、分析和计算并将其转化为具体的描述以作为制造依据的工作过程。机械设计是机械工程的重要组成部分，是机械生产的第一步，是决定机械性能的最主要的因素。2机械设计的努力目标是：在各种限定的条件下，如材料、加工能力、理论知识和计算手段等，设计出最好的机械，即做出优化设计。优化设计需要综合地考虑许多要求，一般有：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中可靠性、最低消耗和最少环境污染。这些要求常是互相矛盾的，而且它们之间的相对重要性因机械种类和用途的不同而异。设计者按具体情况权衡轻重，统筹兼顾，使设计的机械有最优的综合技术经济效果。随着机械工程基础理论和价值工程、系统分析等新学科的发展，制造和使用的技术经济数据资料的积累，以及计算机的推广应用，优化逐渐依靠科学计算。1.3机械优化设计人们在长期的生产实践中，很早就已经应用数学方法解决了诸如给定周长求其所围面积最大的问题、给定表面积求其所围体积最大的问题。实际上，这些问题就是最优化问题的雏形。优化设计主要包括两个方面：一是如何将设计问题转化为确切反映问题实质并适合于优化计算的数学模型，建立数学模型包括:选取适当的设计变量，建立优化问题的目标函数和约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式，约束条件反映的是设计变量取得范围和相互之间的关系；二是如何求得该数学模型的最优解：可归结为在给定的条件下求目标函数的极值或最优值的问题。总的来说，建立合理的数学模型，是解决机械最优化设计的关键。在机械最优化设计建模及求解过程中，应注意下列几方面的问题：（1）数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而实现设计方案。（2）所建立的数学模型要与当前计算机软硬件发展水平相适应，在算法上容易处理。3第二章数学模型在机械设计中的应用2.1数学模型在机械故障诊断技术中的应用2.1.1故障诊断技术中的数学模型故障诊断技术是近40多年来发展起来的一门新学科。它是适应工程实际需要而形成的各学科交叉的一门应用型的边缘综合学科，随着现代机械设备日趋大型化、复杂化、自动化和连续化的发展，设备一旦发生故障，将给人民的生命财产安全造成难以估量的损失。因此，开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。同时，几乎所有的工程问题，都是与数学模型紧密联系在一起的。建立合理的数学模型，是解决设计问题的关键所在。基于数学模型的故障诊断方法的研究极大的丰富了故障诊断系统的内涵，建立的数学模型在故障诊断系统的开发过程中产生了很大的实际效应，提高了系统的诊断效率和准确率。2.1.2故障诊断技术中傅里叶变换的使用旋转机械故障诊断主要分四个步骤，首先是获取运行状态的信号；其次是提取故障的特征；再次是模式识别和故障诊断；最后是诊断决策。其中最关键的是对测试信号进行分析、处理，提取故障信号的特征。图2.1为故障诊断的基本过程。旋转机械故障诊断过程的具体内容如下：图2.1为故障诊断的基本过程傅里叶正变换建立了信号从时域到频域的变换桥梁，而傅立叶逆变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一的映射。傅里叶变换及其逆变换的定义：42Xf()jftxtedt（）=F[x(t)]=(2-1)12xt()jftfXfedf（）=F[X]=(2-2)由式(2-1)和式(2-2)可见，傅里叶变换是从整体上将信号分解成不同的频率分量。式(2-1)，(2-2)可以用内积形式简洁表示为：2-2Xf()=jftjftxtedtte（）=x,0(2-3)22xt()(),jftjftXfedfXfe（）=0(2-4)傅立叶变换的最大贡献不在于把时间域与频率域联系了起来，而是把在时间域内难以观察到的信号特征，在频率域内往往能十分清楚地显示出来，反之亦然。傅立叶变换的最大贡献也不在于使一些数学问题的求解变得更加简洁、高效。傅立叶变换的最大贡献在于产生了信号的频谱分析方法。根据产生的频谱可以分析出设备故障产生的振动信号的频率成分、不同测点振动信号的相位差，根据频率成分和相位差判断出是哪种故障。2.2基于数学模型的圆柱齿轮减速机的设计2.2.1基于数学模型的圆柱齿轮减速器的设计的优势目前通用圆柱齿轮减速机已有标准系列，但其成本与工作可靠性都不是最佳情况。现代机械普遍采用电动机驱动式，为满足工作机输入转速及转矩的要求，需要在电动机与工作机之间安装减速器，以得到合理的转速。因此，作为一种独立的闭式传动装置，减速器在现代机械领域得到广泛应用。传统优化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想。应用数学建模方法对其进行了设计，在不改变原来转动零件的材质、传动比、输入功率和转速等条件下，根据可靠度要求优选出一组最佳齿轮啮合参数，从而使标准系列的减速机的体积最小，成本最低，工作可靠度达到预定要求。该模型提出的减速机的概率设计方法为通用模式，只要输入设计要求的原始数据，就能较快地计算出减速机主要零件的最佳参数对二级圆柱齿轮减速器进行多目标优化。建立以二级圆柱齿轮减速器结构参数的多目标优化数学模型，采用复合形法对实例进行结构参数的优化计算，效果是显著。52.2.2减速器数学模型设计研究a)接触承载能力一对变位齿轮传动的接触承载能力可用只与啮合参数有关的接触承载能力系数表示，其