数学模型在材料设计和检测中的应用

数学模型在材料设计和检测中的应用绪论在生产实践中，利用数学模型可以解决很多实际问题，而我们必须了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，以数学思想来包容问题的精髓，进而用符合数学理论和数学习惯的语言清晰准确地来描述问题，将数学思路贯穿问题的全过程，不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。在知识经济时代，数学建模和计算机技术的结合使得生产发展如虎添翼。其中有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）是指利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。它涉及的范围很广，比如说水利工程、结构工程、汽车、土木、机电、焊接、材料、隧道、模具、振动、流体方面都有很广的应用。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。在机械设计中，对所设计产品进行有限元模拟分析，能近似得知产品在实际工作中的受力变形情况，以此为依据对产品进行安全评估，判定其是否达到设计要求，还可以利用有限元分析软件做设计优化，指定目标函数，求得最优解，使设计尽可能完美。正文有限元分析（FEA）是随着数字和计算机技术的飞速发展而在工程科学技术领域广泛应用的数学物理方法。这种方法是有限个单元的微分方程的集合，也就是将一个弹性体结构离散为有限个单元组成的集合，由于这些单元只与有限个节点相交接，每个节点都只有有限个自由度，于是就可以对这个弹性结构体进行分析求解。Brekelmans等[1]于1972年首次将有限元分析方法应用于骨骼的应力研究，即先将人体骨骼、韧带、肌肉等组织离散化，用这种离散化的有限单元模型代替原有组织；再根据原有组织几何材料特性及受力条件的不同，采取不同的单元种类，单元与单元之间用节点连接，并通过节点传递力；接着利用计算机对各单元体参数设定并进行力学分析；最后再整体分析，最终实现由已知外力求解组织内部的应力分布情况。在准静态载荷状态下，可以将皮质骨与松质骨均视为具有线弹性、各向同性的特性。目前大部分有限元研究也是建立在各向同性、均匀连续的线弹性体的假设前提下。在研究骨的破坏、断裂及失效等情况时，不应忽视骨的弹塑性材料特性，可采用Johnson-Cook模型[2]，当等效应力小于屈服应力时作为线弹性材料考虑，等效应力达到屈服应力时则作为弹塑性材料考虑，骨塑性应变达到最大值时即发生断裂。骨的最大应力可由公式计算得出：𝜎𝑚𝑎𝑥=𝑎+𝑏𝜀𝑝𝑛其中𝑎为屈服应力，𝑏为材料硬化模量，𝜀𝑝为失效塑性应变，n为材料硬化指数。最近一项对皮质骨黏性、弹性及塑性等性质的研究[3]显示，与循环载荷试验加载起始阶段获得的弹性模量值或动态力学分析（DMA）获得的储能模量值相比，循环载荷试验非加载阶段获得的弹性模量值更精确；皮质骨正交异性研究发现纵向弹性模量在骨的前方最大，侧方最小，横向弹性模量在骨的中部最大，后部最小，且能量耗散现象在纵向上更明显；弹性模量在较高应变速率（超过1𝑠−1）下可视为恒定；储能模量随频率增加而增加，与弹性模量随应变速率增加而增加相符合。这些结论可作为有限元模型的验证准则。骨骼肌力学性能比较复杂，表现为非线性、不可压缩性、各向异性、超弹性等性能，在受到外界刺激时还会产生主动收缩功能。Tang等[4]采用多重并联模型描述不同肌纤维性能，并开发出专门计算肌肉模型的PAK有限元分析软件。Johansson等[5]将骨骼肌视为纤维增强复合材料，考虑到主动收缩发力和被动变形受力特征，应用非线性连续介质力学方法导出骨骼肌大变形、超弹性体的本构方程，由此分析得出肌肉变形与应力分布规律。龚亚琦等[6]报道，在此基础上，引入疲劳函数，建立纤维增强超弹性基体的三维有限元模型。定义骨骼肌肉组织的生物材料参数，是建立有限元模型的关键步骤，也是有限元分析的基础，其关系到模型的可靠性和计算结果的准确性。由于人体骨骼复杂的几何形状和边界条件，通常的力学实验手段很难精确地对人体力学行为进行研究，有限元分析法因而成为骨科力学研究极为有用的工具，其模拟程度和结果可信度高。然而为了简化计算量、缩短运算时间，大多数研究均将骨骼肌肉系统的组织假设为均匀、各向同性的线弹性材料。这种假设在静态或准静态载荷条件下可以接受，但是人体骨骼肌肉系统研究的实际情况是动态的，应该在动力载荷条件下将它们考虑为非线性、黏弹性、各向异性的材料更为合理。适应骨骼肌肉系统的非线性和各向异性模型将会成为主流。随着我国航空发动机强度研究工作的不断深入，也将逐步开展统一粘塑性本构理论和相应的强度分析技术研究。计算塑性应变或者说是非弹性应变的方法有两类：一类是屈服面理论，即经典塑性理论；另一类是无屈服面理论，其中包括内蕴时间理论和粘塑性统一本构理论经典的弹塑性和蠕变理论把非弹性应变分为与时间无关的塑性和与时间相关的蠕变，但是大量的实验表明两者存在交互作用。因此基于经典的弹塑性和蠕变理论的结构分析方法在对承受高温大载荷的构件如航空发动机热端部件进行强度及疲劳寿命设计时存在明显的不足，宜采用把塑性和蠕变统一为非弹性应变的统一弹粘性本构模型来模拟[7]。不以屈服面的存在作为其假设和前提的内变量本构理论所建立的粘塑性统一本构模型，是用一套耦合的内变量演化方程来描述材料内部结构及非弹性应变的演化，从而反映了应力历史的影响,记载了加载的历史效性，且通过等向硬化和运动硬化内变量的演化反映了类似经典塑性理论的屈服面随着加载历史而变化的情形，其中包括屈服面的膨胀和收缩，形状改变等复杂的材料性质，能够比较准确地描述材料的变形行为，借助粘塑性统一本构模型分析工程结构时,不必再将弹性变形、塑性变形和徐变变形分开计算，也不需要根据不同的应力水平选择不同的本构模型，全部变形过程使用一个模型，使其程序设计大大简化。经典塑性本构关系都是建立在Drucker公设的基础上。1952年,Drucker根据热力学第一定律，对一般应力状态的加载过程提出了以下公设：对于处在某一状态下的材料质点(或试件)，借助一个外部作用,在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。Drucker公设导致了两个重要推论：一是加载面处处外凸：二是塑性应变增量向量沿着加载面的外法线方向，也就是沿着加载面的梯度方向，这一点也被称为正交性法则。作出经典塑性理论与粘塑性统一本构模型的𝜀1𝑖/𝜀1的比较图，可以看出统一本构模型类似于经典塑性的连续表达，因为变形本身就是一个连续的不间断的过程，所以统一本构模型更符合实际情况，这样就说明了构造的合理性和有效性。再作出统一本构模型模拟金属材料加卸载时的应力应变关系图，可以看出,统一本构模型的优点之一就是无需判定其是加载阶段还是卸载阶段，也无需判定是弹性阶段还是塑性阶段，用一套耦合的本构模型就能模拟所有的变形阶段，这个优点会大大简化之后的结构有限元计算程序。而由S.R.Bodner和Y.Partom采用位错动力学的思想,于1968年首先提出来的Bodner-Partom模型[8](简称B-P模型)是较有代表性的统一弹-粘塑性本构模型，70年代初步建立起理论体系[9~11]。统一弹-粘塑性本构模型认为弹性变形和非弹性变形始终耦合在一起，采用内变量来表示材料抵抗塑性变形的非弹性状态，比经典的弹塑性蠕变理论具有更强大的功能，能较精确地模拟复杂载荷条件下材料的力学响应。特别是它不需要加卸载准则，使有限元计算较简便。迄今B-P模型能模拟一系列应变率相关的非弹性变形的重要特征，如循环硬化与循环软化、非比例加载引起的附加硬化、热恢复、温度相关、损伤的演变等，美国NASA的HOST计划大大地推动了B-P模型的发展及其在航空发动机热端部件应力分析中的应用。HOST计划利用B-P统一弹-粘塑性理论建立了ReneN4、Rene80、Hastelloy-X、MAK、M247、BH1900、PWA1480和Haynes188等材料的本构模型,对美国航空航天推进系统的发展产生了深远的影响。通过编写用户子程序的方法，将B-P统一弹-粘塑性本构模型引入通用有限元计算程序，并进行了程序的验证和算例分析。B-P统一弹-粘塑性本构模型的基本方程包括3个部分：流动法则、动力学方程和内变量演化方程[12]。通过用户子程序将Bonder-Partom统一弹粘塑性本构模型引入通用有限元程序，采用显式差分法计算非弹性应变增量并以及与加载历史相关的变量，这种方法可行、计算结果正确，可以进行结构的粘塑性应力分析。本计算程序能够模拟应变率敏感性、热恢复效应、循环加载特性、循环软化和循环硬化。除此之外，由于材料具有相同的弹性模量E以及代表性应力与代表性应变(𝜎𝑟，𝜀𝑟)时，可以获得相同的纳米压痕加载曲线，而与材料的应变强化指数n无关。基于此，利用纳米压入结合有限元数值模拟建立一种确定金属材料塑性性能参数的改进方法。首先，不考虑金属材料的加工硬化，通过不断调整代表性应力的假设值，当模拟与实验载荷−位移曲线的加载阶段相吻合时，确定其代表性应力。其次，对金属材料假设不同的应变强化指数，采用相同的方法确定其代表性应变。最后，通过调整应变强化指数的假设值，使模拟曲线与实验曲线的卸载阶段相吻合来确定金属材料的真实应变强化指数，继而利用幂强化本构方程确定金属材料的初始屈服极限。这种方法应用到了数学模型中的有限元模拟，而将此方法应用于AISI304不锈钢、铁及铝合金三种金属，可以验证其有效性。展望新材料产业通过自主创新，在一些领域具有技术优势，如非线性光学晶体、纳米碳管、高温合金和功能陶瓷的研究和开发等方面初步形成了自身特色，通过材料领域科技成果的产业化，为国民经济和国防建设提供了一批关键新材料，如集成电路用配套材料、超级钢、稀土功能材料、镁合金等已实现规模化生产。总体而言，新材料产业总体规模还不大，多数处于发展初期，产业呈集聚发展趋势、区域特色明显，形成了各有优势、各具特色的发展格局。而在未来，新材料的研究、开发、生产与应用中必然会运用到各种数学模型，需要从定量的角度分析和研究生产中遇到的实际问题，要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。参考文献1.BrekelmansWA,PoortHW,SlooffTJ.Anewmethodtoanalysethemechanicalbehaviourofskeletalparts.ActaOrthopScand,1972,43(5):301～317.2.El-RichM,ArnouxPJ,WagnacE,etal.Finiteelementinvestigationoftheloadingrateeffectonthespinalload-sharingchangesunderimpactconditions.JBiomech,2009,42(9):1252～1262.3.Abdel-WahabAA,AlamK,SilberschmidtVV.Analysisofanisotropic-viscoelastoplasticpropertiesofcorticalbonetissues.JMechBehavBiomedMater.2011,4(5):807～820.4.TangCY,TsuiCP,StojanovicB,etal.Finiteelementmo