数学物理方法傅里叶变换法

1积分变换法积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往往不能。本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。2dxexfFxi)(21)(deFxfxi)()(傅里叶变换（1）导数定理itfFtfF)(Fi（2）积分定理i1dttftFtfF（3）相似性定理)(1aFa)(Faxf3（4）延迟性定理)(F00Fexxfxi（5）位移性定理)(F00Fxfexi（6）卷积性定理,2F2121FFxfxf4第一节傅里叶变换法用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是例1求解无限长弦的自由振动)(|),(|)(0002xuxuxuautttxxtt解：应用傅里叶变换，即用2/ikxe同乘方程和定解条件中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于5定解问题变换成：)(|),(|00022kUkUUakUtt其中)()(kk，分别是)(),(xx的傅里叶变换，这样原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：ikatikatekBekAktU)()(),(代入初始条件可得：)(121)(21)()(121)(21)(kikakkBkikakkA故ikatikatikatikatekikaekekikaekktU)(121)(21)(121)(21),(对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：6atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),(达朗贝尔公式例2求解无限长细杆的热传导问题)(|)(002xuxuautxxt解：作傅里叶变换，定解问题变为：)(|0022kUUakUt此常微分方程的初始问题的解为takekktU22)(),(进行傅里叶逆变换可得：dkeededkeekktUFtxuikxtakikikxtak2222])([21)()],([),(17交换积分次序ddkeetxuxiktak])[(21),()(22积分公式：22224/)/(eadkeekk222222222222222222222224404040)2(4)2(422222eedxeedeedkeedkeedkexkkkk8例3求解无限长细杆的有源热传导问题0|))(,(02txxtuxtxfuau解：作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：0|);(022tUktFUakU令)(,xita利用上述公式可得detatxutax224)(21)(),(9用take22同乘方程各项，可得：taktakektFektUdtd2222);(),(对t积分一次，并考虑零初始值可得：taktakiktaktakddeeefdekFektU0022222222),();();(进行傅里叶逆变换dkeddeeftxuikxtiktak0)(22),(21),(交换积分次序可得：txiktakdddkeeftxu0)()(2221),(),(10是单位面积硅片表层原有杂质总量.并利用积分公式可得最后的结果为：ttaxddetaftxu0)(4)(22)(21),(),(例4限定源扩散在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可)0()0(|0|00002xxuuuautxxxxt0硅片，这里求解的是半无界空间x0中的定解问题:有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已11解:没有杂质穿过硅片表面,即:0|0xxu第二类齐次边界条件这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题)0()0()0()0(|0|000002xxxxuuuautxxxxt)(2|00xut则)x)(-(2|0002xuuautxxt引用例2结果可得taxtaxetadetatxu22224/04)(02221)(2),(高斯函数12),(txuxO硅片表面123右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中0即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,例5恒定表面浓度扩散在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由0||00002txxxtuNuuau即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.度趋于均匀,曲线下的面积为2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓的分布情况,曲线1对应于较早的时刻是半无界空间x0中的定解问题于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求13解首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令),(),(0txwNtxu则化为关于w的定解问题:00000002||0||0NNuwNuwwawttxxxxt这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即)0()0(|00002xNxNwwawtxxt引用例2结果可得04)(004)(022222121),(detaNdetaNtxwtaxtax14第一个积分中令taddztaxz2/,2/)(第二个积分中令taddztaxz2/,2/)(则有taxtaxztaxztaxzdzeNdzeNdzeNtxw2/2/02/02/0222),(被积函数是偶函数,故taxzdzeNtxw2/0022),(误差函数记做erfx,则w可写为:)2(),(0taxerfNtxw所求的解如下:15)2(1),(),(00taxerfNtxwNtxu余误差函数记做erfcx,则有taxerfcNtxu2),(0),(txutxO硅片表面123右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中例6泊松公式求解三维无界空间中的波动问题)(|),(|00032rUruuauttttt明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线)的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚分布情况,曲线1对应于某个较早的时16解做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题)(|),(|00022kUkUUakUtt这个方程的解为))((121))((21),(ikatikatikatikateekikaeekktU再进行傅里叶逆变换321)](121)()(21)([),(dkdkdkeeeikakeektrUrikikatikatikatikatVddkdkdkeeeararrikikatikat])(4)[(41321)(217Vddkdkdkeeeikrarrikikatikat])(141)[(41321)(2Vddkdkdkeeeikrtarrikikatikat])(141)[(41321)(2Vddkdkdkeeeikrarrikikatikat])(141)[(41321)(2利用5.3例1的结果)(41),(rtatrUVddkdkdkeatrrrrik321)()(1)(41ra18Vddkdkdkeatrrrrik321)()(1应用延迟定理VdatrrrrrtatrU)||(||)(41),(Vdatrrrrra)||(||)(41出现)||(atrr对ratS的积分只要在球面上进行ratS以r为球心(矢径r),半径为atratratSSSdatraSdatrtatrU)(41)(41),(Sd为球面的面积元,此即泊松公式.ratSr19三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式ratS然后拿初始扰动)(,)(rr按泊松公式在球面上积分ratS,波动以速度a传播,只有跟点r相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到rrdDT0初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0ratS跟T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋没有到达r,当d/atD/a,跟T0相交,ratS0),(tru扰动到达r,当tD/a,包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明ratS球心,以at为半径作球面求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为扰动已经过去.最小距离为d,最大距离为D,当td/a,20例7推迟势求解三维无界空间中的受迫振动0|,0|),(0032tttttuutrfuau解做傅里叶变换,变为非齐次常微分方程的初始值问题0|,0|);(0022ttUUktFUakU此问题的解为(第六章习题7答案)deekFaikktUttikatika0)()(])[;(21);(进行傅里叶逆变换可得3210)()(])[;(21)(r,dkdkdkdeeekFaiktutriktikatika21Vddkdkdkeeeikrfatrriktikatika3210)()()(3][2)2(1),(41应用脉冲函数性质和关系式||/)()(axaxVddarrtrrrfatut||||1),(41)(r,0Vdrrarrtrfa||)/||,(41由于0t积分只要在条件0/||arrt下进行即可对r的积分只需要在球体ratT进行,球心的矢径为r,半径atVdrrarrtrfaturatT||)/||,(41)(r,Vddtarrrrrfatut||||1),(41)0(r,引用§5.3例1的结果,并应用延迟定理可得22f的宗量t换成了arrt/||扰