数学证明综合法分析法反正法(文科)

1高二数学证明、综合法、分析法、反正法（文科）1．用演绎推理证明函数f(x)＝|sinx|是周期函数．证明：大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数则它为周期函数，T为它的一个周期．小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)．结论：函数f(x)＝|sinx|是周期函数．2．设a0，f(x)＝𝐞𝐱𝐚＋𝐚𝐞𝐱是R上的偶函数，求a的值．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴(a－1a)(ex－1ex)＝0对于一切x∈R恒成立，由此得a－1a＝0，即a2＝1.又a0，∴a＝1.3.已知正数cba,,成等差数列，且公差0d，求证：cba1,1,1不可能是等差数列。证明：假设cba1,1,1为等差数列,则2b=1a+1c,∴2ac=b(c+a)=2b2,∴ac=b2∴(b-d)(b+d)=b2,∴b2+bd-bd-2d=b2,∴2d=0即d=0这与已知0d矛盾故假设错误，原命题成立4.求证：6+722+5。证明：要证原不等式成立，只需证（6+7）2（22+5）2，即证402422。∵上式显然成立,∴原不等式成立.5．数列{an}满足a1＝16，前n项和Sn＝𝐧(𝐧+𝟏)𝐧an(1)写出a2，a3，a4；(2)猜出an的表达式。解:(1)令n＝2，∵a1＝16，∴S2＝𝟐(𝟐+𝟏)𝟐a2，即a1＋a2＝3a2.∴a2＝112.令n＝3，得S3＝𝟑(𝟑+𝟏)𝟑a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝120.令n＝4，得S4＝𝟒(𝟒+𝟏)𝟒a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝130.(2)猜想an＝𝟏(𝐧+𝟏)（𝐧+𝟐）26.已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：1a+b+1b+c=3a+b+c证明:要证1a+b+1b+c=3a+b+c需证:a+b+ca+b+a+b+cb+c=3，即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证:c2+a2=ac+b2，因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB，即b2=c2+a2-ca所以c2+a2=ac+b2，因此1a+b+1b+c=3a+b+c7．设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2证明方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.方法二要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b0.∴a－b≥0,3a2－2b22a2－2b2≥0，∴上式成立．8．（1）求证：当a、b、c为正数时，(𝐚+𝐛+𝐜)(𝟏𝐚+𝟏𝐛+𝟏𝐜)≥𝟗（1）证明：左边=accacbbcabba3因为：a、b、c为正数所以：左边accacbbcabba2223922239111cbacba（2）已知nnnn：n112,0试用分析法证明（2）证明：要证上式成立，需证122nnn，需证22)12()2(nnn需证nnn212，需证nnn2)1(22，需证nnnn21222，只需证10，因为10显然成立，所以原命题成立39．在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形。证明：A、B、C成等差数列A+C=2B,由A+B+C=1800得：B=600,12COSB即：222122acbac,222babac①又a、b、c成等比数列2bac②由①②得：22acabac,即：2()0acacABC是等腰三角形又B=600ABC是等边三角形10.在△ABC中，证明：。证明：由正弦定理得：11．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：ab＋baa＋b.证明方法一用综合法ab＋ba－a－b＝aa＋bb－ab－baab＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab0，∴ab＋baa＋b.方法二用分析法要证ab＋baa＋b，只要证a2b＋b2a＋2aba＋b＋2ab，即要证a3＋b3a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)，即需证a2－ab＋b2ab，只需证(a－b)20,因为a≠b，所以(a－b)20恒成立，所以ab＋baa＋b成立．2222sinsinbBaA2222112cos2cosbabBaA2222112cos2cosbabBaA222222sin21sin212cos2cosbBaAbBaA222222sinsin211bBaAba412．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)·(1c－1)≥8.证明:(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝(a＋b＋ca－1)(a＋b＋cb－1)(a＋b＋cc－1)＝b＋ca·a＋cb·a＋bc＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．13．已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.证明：要证logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需证logx(a＋b2·b＋c2·a＋c2)logx(abc)．由已知0x1，得只需证a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．