江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习(五,文数)

CBAP江苏省常州市常州中学2011-2012高三数学（文）最后冲刺综合练习试卷（五）一、填空题：1.已知集合21,PxxaxR，lg2,QxyxxR，则PQ.2.高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为.3．若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为.4.若复数2i(,i1immR为虚数单位)为纯虚数，则实数m的值为.5．以椭圆221259xy的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为.6．已知直线1:80lxay与2:(3)420laxya,则12//ll的充要条件是.7．已知实数{|125}xabcxZ，，≤，则函数2()fxaxbxc为偶函数的概率是．8．已知奇函数24cos20,02xfx的最小正周期为,那么()fx在0,上的增区间是.9.在R上定义运算：(1)xyxy，若不等式()()1xaxa对任意实数x成立，则实数a的取值范围是.10.若直线1byax与圆122yx相切于第一象限，则实数11ab的最小值是．11.如图,B是PAC的边AC上一点,且24ABBC,90APB,30CPB,则PAPC.A1D1C1B1BACDO112.已知△ABC三边,,abc的长都是整数，且abc≤≤，如果bm(*mN)，则这样的三角形共有个（用m表示）．13.已知二次函数2()fxxx,当[,1](*)xnnnN时()fx的所有整数值的个数为gn.若()2nngnb,且12nnTbbb,而()nTllZ,则l的最小值为.14.方程fxx的实根0x叫做函数fx的不动点，则)2()(xaxxf)0,(aRx有唯一不动点，数列na满足1111005,1nnaafnNa，则2009a等于.二、解答题:15．（本小题满分14分）如图，四棱柱1111ABCDABCD的底面边长和侧棱长均为1，1160,BADBAADAA1O为11AC中点．⑴求证：11//AOCBD平面；⑵求证：平面11ACCA平面ABCD.16．（本小题满分14分）已知圆22:2430Cxyxy.⑴若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.⑵从圆C外一点11(,)Pxy向该圆引一条切线，切点为,MO为坐标原点，且有PMPO，求使得PM取得最小值的点P的坐标.17．（本小题满分16分）等差数列na的前n项和为13,22,1232.nSaS⑴求数列{}na的通项na与前n项和Sn；⑵设1(*)nnSbnnN，求证：数列nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列.18.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？19．（本小题满分16分）已知函数323()2fxxaxb,,ab为实数，R,Rxa.⑴当12a时,若()fx在区间[1,1]上的最小值、最大值分别为2、1，求a、b的值；⑵在⑴的条件下，求经过点(2,1)P且与曲线()fx相切的直线l的方程；⑶试讨论函数2()(()241)xFxfxxaxae的极值点的个数.20．（本小题满分16分）已知集合naaaaA,,,,321，其中2,1nniRai，Al表示njiaaji1的所有不同值的个数．⑴已知集合8,6,4,2P，16,8,4,2Q，分别求Pl，Ql；⑵若集合nA2,,8,4,2，求证：21nnAl；⑶求Al的最小值．答案1.[1,2);2.20;3.122;4.2;5.34yx;6.1;7.13;8.3,44;9.1322a;10.22;11.6;12.(3)2mm;13.7;14.2009.15.证明:（1）连结AC、BD交于O点，连结1.CO…………………………………2分11//,CCAA四边形11ACCA为平行四边形．又1,OO分别为11,ACAC的中点，11//.COAO…………………………………4分1CO平面11,CBDAO平面11,//CBDAO平面1.CBD………………………7分（2）连结111,,.ABADAO1AAABAD，又111111,.AABAADAABAADABADO为BD中点，1.BDAO……………………………9分又底面ABCD为菱形，BDAC……………………………12分1.ACAOOBD平面11,ACCABD平面ABCD平面11ACCA平面ABCD.……………14分16解：（1）将圆C配方得：22122xy.………………………………1分①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为ykx,由直线与圆相切得:26yx…………………………………4分②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为0xya,由直线与圆相切得:10xy或30xy.…………………………………9分(2)由POPM得:22221111122xyxy,得112430xy.10分即点P在直线:2430lxy上,当PM取最小值时,即OP取得最小值,直线OPl.所以直线OP的方程为20xy.…………………………………12分解方程组20,2430,xyxy得点P的坐标为33,105.……………………14分17解：（1）由已知得1122,=2331232,adad，…………………………………2分故22,(12).nnanSnn…………………………………5分（2）由（1）得12nnSbnn.…………………………………7分假设数列nb中存在三顶,,pqrbbb（p、q、r互不相等）成等比数列，则2qprbbb，即2(2)(2)(2)qpr，∴2()(2)20.qprqpr…………………………………10分∵20,,,*,20,qprpqrpprN…………………………………12分∴22(),()0,,2prprprpr…………………………………15分与p≠r矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.……………16分18.解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；Bn=500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n21)]－600=500n－n2500－100.（Ⅱ）Bn－An=(500n－n2500－100)－(490n－10n2)=10n2+10n－n2500－100=10[n(n+1)－n250－10].因为函数y=x(x+1)－n250－10在（0，+∞）上为增函数，当1≤n≤3时，n(n+1)－n250－10≤12－850－100；当n≥4时，n(n+1)－n250－10≥20－1650－100.∴仅当n≥4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.19.解:（1）由已知得，2()33,fxxax…………………………………1分由()0fx，得10x，2xa．……………………………………………2分∵[1,1]x，12a，∴当[1,0)x时，()0fx，()fx递增；当(0,1]x时，()0fx，()fx递减．∴()fx在区间[1,1]上的最大值为(0)fb，∴1b．…………………………4分又33(1)11222faa，33(1)1122faa，∴(1)(1)ff．由题意得(1)2f，即322a，得43a．故43a，1b为所求．…………6分（2）解：由（1）得32()21fxxx，2()34fxxx，点(2,1)P在曲线()fx上．①当切点为(2,1)P时，切线l的斜率2()|4xkfx，∴l的方程为14(2)yx，即470xy．……………………………………8分②当切点P不是切点时，设切点为00(,)Qxy0(2)x，切线l的斜率0200()|34xxkfxxx，∴l的方程为20000(34)()yyxxxx．……………………………………………10分又点(2,1)P在l上，∴200001(34)(2)yxxx，∴322000001(21)(34)(2)xxxxx，∴2200000(2)(34)(2)xxxxx，∴2200034xxx，即002(2)0xx，∴00x．∴切线l的方程为1y．故所求切线l的方程为470xy或1y……………………………………………12分（或者：由①知点A（0，1）为极大值点，所以曲线()fx的点A处的切线为1y，恰好经过点(2,1)P，符合题意．）（3）解：由题意2()(1)xFxxaxae,所以/2()[(2)21]xFxxaxae…………………………………………………13分令2(2)210xaxa.①当(4)0aa,即0a或4a时,方程2(2)210xaxa有两个不同的实根12,xx,不妨设12xx,于是12()()()xFxexxxx从而有下表:x1,x1x1(,x2)x2x2,x/()Fx0_0()Fx增函数极大值减函数极小值增函数即此时有两个极值点.…………………………………………………………………16分②当(4)0aa,即0a或4a时,方程2(2)210xaxa有两个相同的实根12xx,于是/21()()xFxexx,此时无极值.…………………………………16分③当0,即04a时,恒有/()0Fx,此时无极值.………………………………17分因此,当0a或4a时,()Fx有2个极值点,当04a时,()Fx无极值.………18分20.解：⑴由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得l(P)＝5……………2分由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得l(Q)＝6……………4分（2）证明：因为ai＋aj(1≤i＜j≤n)共有n(n－1)2项，所以l(A)≤n(n－1)2．…………6分又集合A＝{2，4，8，…，2n}，不妨设am＝2m，m＝1，2，…，n．ai＋aj，ak＋al(1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n)，当j≠l时，不妨设j＜l，则ai＋aj＜2aj＝2j＋1≤al＜ak＋al，即ai＋aj≠ak＋al，当j＝l，i≠k时，ai＋aj≠ak＋al，因此，当且仅当i＝k，j＝l时，ai＋aj＝ak＋al．即所有ai＋aj(1≤i＜j≤n)的值两两不同，因此l(A)＝n(n－1)2．……………10分（3）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an，可得a1＋a2＜a1＋a3＜…＜