江苏省盐城市时杨中学高考数学第2讲数形结合思想练习

1江苏省盐城市时杨中学高考数学：第2讲数形结合思想思想方法概述1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．题型一数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例1(1)设函数f(x)＝2,02,0xbxcxx若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为_____．(2)使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是________．变式训练1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.2题型二数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例2已知函数f(x)＝221,02,0xxxxx若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为__________．变式训练2若不等式logaxsin2x(a0，a≠1)对任意x∈0，π4都成立，则a的取值范围为____________．题型三数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用例3已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．规律方法总结1．利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．2．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解填空题时更方便，可以提高解题速度．3．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．名师押题我来做1．函数f(x)＝(12)x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为_____．2．已知函数f(x)＝21,0(1),0xxfxx若方程f(x)＝loga(x＋2)(0a1)有且只有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________．第2讲数形结合思想(推荐时间：60分钟)一、填空题31．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值为________．2．设函数f(x)＝1221,0,0xxxx若f(x0)＞1，则x0的取值范围是____________．3．若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋4－x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．4．函数f(θ)＝sinθ2＋cosθ的最大值为________．5．设x，y满足约束条件00134xyxyaa若z＝x＋2y＋3x＋1的最小值为32，则a的值为________．6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．7．已知y＝f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠1)有4个根，则k的取值范围为__________．8．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1,2]上f(x)＝________.9．若方程x3－3x－a＝0有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．10．函数f(x)＝x2＋9＋x－2＋1的最小值为________．11．若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.12．y＝f(x)＝36,263,2xxxx，若不等式f(x)≥2x－m恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题13．不等式x2＋|2x－4|≥p对所有x都成立，求实数p的最大值．414.设有函数f(x)＝a＋－x2－4x和g(x)＝43x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．15．已知a0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；(2)当a∈(0,3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1,2]上的最小值；(3)试讨论函数y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．