江苏省金陵中学2013届高三学情调研卷(数学)2012.11

金陵中学2013届高三学情调研卷数学2012.11本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．卷纸．．相应位置．．．．上．1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为▲．2．已知2＋3ii＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝▲．3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为▲．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为▲．5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为▲．6．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2＝2x上的点P到坐标原点O的距离为15，则线段PF的长为▲．7．已知等比数列{an}的公比q＝－12，Sn为其前n项和，则S4a4＝▲．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝▲．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝33，则△ABC的面积为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为▲．11．已知函数f(x)＝ex－k，x≤0，(1－k)x＋k，x＞0是R上的增函数，则实数k的取值范围是▲．12．已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；开始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN输出k结束(第8题)③若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的有▲．(填写所有正确命题的序号)13．已知直线x＝a(0＜a＜π2)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝15，则线段MN的中点纵坐标为▲．14．已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面ADC1．17．（本小题满分14分）经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E＝kv3t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间(单位：h)，k为大于零的常数．如果水流的速度为3km/h，鲑鱼在河中逆流行进100km．（1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；（2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?ABCDA1B1C1(第16题)18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，右准线为l：x＝4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）若AM＝MP，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；（3）连结PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．19．（本小题满分16分）设t＞0，已知函数f(x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－12恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好．．与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．ABPMNxyO(第18题)20．（本小题满分16分）已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n＝3n2an＋S2n－1，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．金陵中学2013届高三学情调研卷数学附加题2012.11注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．求证：∠DAP＝∠BAP．ABDCPO·(第21A题)B．选修4—2：矩阵与变换设a＞0，b＞0，若矩阵A＝a00b把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：x24＋y23＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsin(θ－π6)＝a截得的弦长为23，求实数a的值．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋1—ab≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B－PC－D的余弦值．PABCDE(第22题)23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．金陵中学2013届高三学情调研卷数学参考答案及评分标准2012.11说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．42．－63．44．135．16．727．－58．119．3610．211．[12，1)12．②③④13．71014．(－∞，－12－ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0，…………………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝35．…………………6分（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．…………………8分所以tanθ＝－56．…………………10分所以tan(θ＋π4)＝tanθ＋tanπ41－tanθtanπ4＝111．…………………14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…………………5分因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…………………7分（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分因为OD平面ADC1，A1B/平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1＝∥BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．因为C1D平面ADC1，D1B/平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．…………………11分因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t＝100v－3．…………………2分所以E＝kv3t＝kv3100v－3＝100kv3v－3(v∈(3，＋))．…………………6分（2）E＝100k3v2(v－3)－v3(v－3)2＝100k2v2(v－4.5)(v－3)2．…………………10分令E＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．因为k＞0，v＞3，所以当v∈(3，4.5)时，E＜0，当v∈(4.5，＋)时，E＞0．故E＝100kv3v－3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋)上单调递增．…………13分所以，当v＝4.5时，E取得最小值．即v＝4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小．…………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）由ca＝12，a2c＝4．解得a＝2，c＝1．所以b2＝3．所以椭圆方程为x24＋y23＝1．…………………4分ABCDA1B1C1（第16题图）OABCDA1B1C1（第16题图）D1（2）因为AM＝MP，所以xM＝1，代入椭圆得yM＝32，即M(1，32)，所以直线AM为：y＝12(x＋2)，得P(4，3)，所以BM＝(－1，32)，BP＝(2，3)．…………………8分因为BM·BP＝52≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上．…………………10分（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．直线AM的方程为：y＝y1x1＋2(x＋2)，所以yp＝6y1x1＋2，直线BN的方程为：y＝－y1x1－2(x－2)，所以yp＝－2y1x1－2，…………………12分所以6y1x1＋2＝－2y1x1－2．因为y1≠0，所以6x1＋2＝－2x1－2．解得x1＝1．所以点M的坐标为(1，32)．…………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞2t3或x＜0时，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f(x)的单调增区间；当0＜x＜2t3时，f′(x)＜0，所以(0，2t3)为函数f(x)的单调减区间．………………4分（2）因为k＝3x02－2tx0≥－12恒成立，所以2t≤3x0＋12x0恒成立，…………………6分因为x0∈（0，1]，所以3x0＋12x0≥23x0×12x0＝6，即3x0＋12x0≥6，当且仅当x0＝66时取等号．所以2t≤6，即t的最大值为62．…………………8分（3）由（1）可得，函数f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2t3处取得极小值－4t327．因为平行于x轴的直线l恰好．．与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y＝－4t327．…………………10分令f(x)＝－4t327，所以x2(x－t)＝－4t327，解得x＝2t3或x＝－t3．所以C（2t3，－4t327），D（－t3