数电基础知识.

§1.1二进制代码§1.2二值逻辑变量与基本逻辑运算§1.3逻辑函数及其表现方法§1.4逻辑代数§1.5卡诺图化简法第一章数电基础知识二进制代码的位数(n),与需要编码的事件（或信息）的个数(N)之间应满足以下关系：N≤2n概念：用4位二进制数来表示一位十进制数中的0~9十个数码，简称BCD码。从4位二进制数16种代码中,选择10种来表示0~9个数码的方案有很多种。每种方案产生一种BCD码。码制:编制代码所要遵循的规则1.1.1二-十进制码1.1二进制代码BCD码十进制数码8421码2421码5421码余3码余3循环码000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011001101100101401000100010001110100501011011100010001100601101100100110011101701111101101010101111810001110101110111110910011111110011001010（1）几种常用的BCD代码（2）各种编码的特点：余３码的特点:当两个十进制的和是10时，相应的二进制正好是16，于是可自动产生进位信号,而不需修正.0和9,1和8,…..6和4的余３码互为反码,这对在求对于10的补码很方便。余3码循环码：相邻的两个代码之间仅一位的状态不同。按余3码循环码组成计数器时，每次转换过程只有一个触发器翻转，译码时不会发生竞争－冒险现象。有权码：编码与所表示的十进制数之间的转算容易如(10010000)8421BCD=(90)Ｄ对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组BCD代码来表示。例如：BCD2421236810BCD84215364100010.0011110011102.8630101.0011011001005.463不能省略！不能省略！(3)用BCD代码表示十进制数对于有权BCD码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：[]BCD84210111()D7=11214180+++=[]()DBCD24217112041211101=+++=(4)求BCD代码表示的十进制数•格雷码是一种无权码。二进制码b3b2b1b0格雷码G3G2G1G000000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000•编码特点是：任何两个相邻代码之间仅有一位不同。•该特点常用于模拟量的转换。当模拟量发生微小变化，格雷码仅仅改变一位，这与其它码同时改变2位或更多的情况相比，更加可靠,且容易检错。1.1.2格雷码1.2二值逻辑变量与基本逻辑运算*逻辑运算:当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。逻辑运算使用的数学工具是逻辑代数。逻辑运算的描述方式:逻辑代数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（HDL)等。*逻辑代数与普通代数:与普通代数不同,逻辑代数中的变量只有0和1两个可取值，它们分别用来表示完全两个对立的逻辑状态。在逻辑代数中，有与、或、非三种基本的逻辑运算。1、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：开关A，B串联控制灯泡L电路图L=ABVABLＹ＝ＡＢＣ…VABLVABLVABLVABL两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：L＝ＡＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：ABL000110110001开关A开关B灯L断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：LAB&L＝ＡＢ真值表逻辑符号2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡LＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…电路图L=ABVABLVABLVABLVABLVABL两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：L＝ＡＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：ABL000110110001开关A开关B灯L断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：LAB&L＝ＡＢ真值表逻辑符号2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡LＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…电路图L=ABVABLVABLVABL两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：L＝Ａ+ＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。VABLVABLABL000110110111实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：AB≥1L=A+B真值表开关A开关B灯L断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭亮亮亮功能表逻辑符号3、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Ｙ＝Ａ开关A控制灯泡L电路图VALRAL0110实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：YA1L=AVALRA断开，灯亮。VALRA接通，灯灭。真值表功能表逻辑符号开关A灯L断开闭合亮灭4、几种常用的逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：ABYABY000110111110真值表YAB与非门的逻辑符号L=A+B&（2）或非运算：逻辑表达式为：BAYABY000110111000真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B≥1（3）异或运算：逻辑表达式为：BABABAYABY000110110110真值表YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1（4）同或运算：逻辑表达式为：ABY000110111001真值表AB同或门的逻辑符号L=A+B=1YCDABYY≥1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&&≥1Y与或非门的等效电路（5）与或非运算：逻辑表达式为：abcdAB～楼道灯开关示意图开关A灯下下上下上下上上亮灭灭亮开关B开关状态表逻辑真值表ABL001100010111A、B:向上—1向下--0L:亮---1;灭---0确定变量、函数，并赋值开关:变量A、B灯:函数L逻辑抽象，列出真值表1.3逻辑函数及其表示方法1、真值表表示方法ABBAL逻辑真值表ABL001100010111逻辑表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式。例：已知某逻辑函数的真值表，试写出对应的逻辑函数表达式。2、逻辑表达式表示方法用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻辑关系所得到的图形称为逻辑图。将逻辑函数式中所有的与、或、非运算符号用相应的逻辑符号代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来，就得到图电路所对应的逻辑图ABBAL例：已知某逻辑函数表达式为，试画出其逻辑图LABL11≥1&&AB3、逻辑图表示方法真值表ABL001100010111用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。101011100t1t4t2t3010ABL4、波形图表示方法1.4.1逻辑代数的基本定律和恒等式与运算：111001010000（1）常量之间的关系（2）基本公式0-1律：AAAA100011AA或运算：111101110000非运算：1001互补律：01AAAA等幂律：AAAAAA双重否定律：AA分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。1.4逻辑代数（3）基本定理交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定律）：BABABABA.利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A：ABA.BB.A0001101100010001(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)证明：（4）常用公式还原律：ABABAABABA)()(证明：))((BAAABAA吸收率：BABAABABAAABAAABAA)()()(1BABA分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A·1=1冗余律：CAABBCCAAB证明：BCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)(互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC)1()1(BCACABCAAB0-1率A+1=1注意：本节所列出的基本公式反映的是逻辑关系而不是数量之间的关系，在运算中不能简单套用初等代数的运算规则。1.4.2逻辑代数的基本规则（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：BAABCBABACBAC)(（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：EDCBAY))((EDCBAYEDCBAYEDCBAY注意：运用反演规则应注意以下两个原则（1）保持原来的运算优先级，即先进行与运算，后进行或运算，并注意优先考虑括号内的运算；（2）对于反变量以外的非号应保留不变。（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：EDCBAY对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)())((CABABCAABABAABABA)()())((EDCBAYEDCBAYEDCBAY1.4.3逻辑函数的代数化简法（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y))((CABA（3）与非-与非表达式：YACBA（4）或非-或非表达式：YCABA（5）与或非表达式：YCABA1、逻辑函数的最简与-或表达式一个逻辑