江苏省高三一轮数学复习专题材料推理与证明

11-1专题11推理与证明江苏省太仓高级中学钱华【课标要求】1．课程目标通过推理与证明的教学，使学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯．2．复习要求（1）教学中应通过实例引导学生运用合情推理去探索、猜想一些数学结论，并用演绎推理证明所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．（2）本节的数学证明是对学生学过的基本证明方法的总结．在教学中，应通过实例引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．（3）对数学归纳法的要求不宜过高．3．复习建议（1）归纳推理和类比推理应贯彻在平时的教学过程中，使学生自觉养成探索的习惯，而不是做足针对的训练，所以这部分内容只供相关参考．（2）合情推理的证明不作要求，但平时练习最好养成证明的习惯，很多推理是在证明过程中发现的，况且方法上的类比本身也是一种较难的推理．（3）直接证明与间接证明也应注重平时教学中的贯彻与提炼，不可以追求方法本身，而是要注重数学思想方法的渗透．（4）本专题内容具有综合性，包罗高中数学的各方面知识，对思维要求较高，对能力不强的同学具有一定难度，在高考中不一定单独命题，但会渗透在具体的题目中．【典型例题】例1．填空题（1）观察下式：1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，…，推测第n个式子为____________________．解析：1-22+32+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+3+…+n)(n∈N*)．11-2（2）观察下列式子：1+12232，1+122+13253，1+122+132+14274，…，根据上述不等式，归纳出一个一般的结论是_______________________．解析：1+122+132+…+1(n+1)22n+1n+1(n∈N*)．（3）已知函数f(x)=x1+x，若f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，则fn(x)=________．解析：易得：f2(x)=x1+2x，f3(x)=x1+3x，f4(x)=x1+4x，归纳得f(x)=x1+nx(n∈N*)．（4）平面内n个圆两两相交，且任意三圆不过同一点，则这n个圆将平面分成_______个区域．解析：列举得：n=1时，2个区域；n=2时，4个区域；n=3时，8个区域；n=4时，14个区域；…；归纳一般情况有n2-n+2(n∈N*)．（5）面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4)此四边形内任一点P到第条i边的距离记为hi(i=1,2,3,4)，若a11=a22=a33=a44=k，则∑4i=1(ihi)=2Sk，类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4)，若S11=S22=S33=S44=k，则∑4i=1(iHi)=___________．解析：3Vk，面积法→体积法．（6）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足关系______________________．解析：S2△BCD=S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB；注意形式上的类比与思想方法上的类比．（7）已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b(m≠n,m,n∈N*)，则am+n=bn-amn-m．现已知数列{bn}(bn0,n∈N*)为等比数列，且bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm+n=_____．解析：设{an}公差为d，则d=an-amn-m=b-an-m，∴am+n=am+nd=a+n·b-an-m=bn-amn-m．类比此推导方法易知：设{bn}公比为q，由mnmnqbb知，mnaqb，∴mnabq，11-3∴mnmnmnnmnmabaabbb．故应填mnmnab．（8）在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n∈N*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式_______________成立．解析：b1b2…bn=b1b2…b17-n，用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18，这时上面的等式变为:a2+a3+…+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质．若给出a9=0,可以引出a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0那么应有下面的等式:a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n类比等比数列:b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1．∴b1·b2…bn=b1·b2…b17-n(n17,n∈N*)．（9）过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于M、N两点,交y轴于P点，设PM→=λMF→,PN→=μNF→,则有λ+μ为定值2a2b2；类比双曲线这一结论，在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中，设PM→=λMF→，PN→=μNF→，则有λ+μ为定值_____________．解析：-2a2b2；可以用特殊值法，取x轴，得到定值，再证明即可．（10）函数y=sinx(0xπ)所对应的曲线为“凸曲线”,此类函数具有性质为：f(x1)+f(x2)2≤f(x1+x22)；类比此性质，设角A,B,C是△ABC的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值为___________．解析：本组题主要是数学中“升降维”的思想.从二元推广为三元，得f(x1)+f(x2)+f(x3)3≤f(x1+x2+x33)，所以sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C3=332．例2．设已知x,y∈(0,+∞)，且x+y2，求证：1+yx和1+xy中至少有一个小于2．11-4证明：假设1+yx和1+xy都不小于2，即1+yx≥2，1+xy≥2，则1+y≥2x，1+x≥2y，∴(1+y)+(1+x)≥2x+2y．∴x+y≤2．这与已知x+y2矛盾，故假设不成立．因此，原命题成立．例3．已知a,b,c,d∈(0,1)，试比较abcd与a+b+c+d-3的大小．解：先考虑一个简单问题，比较ab与a+b-1的大小．事实上，因为ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)0，∴aba+b-1．∴abc(ab)cab+c-1(a+b-1)+c-1=a+b+c-2．更进一步，则有abcd(abc)dabc+d-1(a+b+c-2)+d-1=a+b+c+d-3.，故有abcda+b+c+d-3．例4．是否存在实数m，使得不等式x2x+y+yx+2y≤m≤xx+2y+y2x+y对一切正数x、y恒成立？试证明你的结论．解：先取x=y=1，得23≤m≤23，∴m=23．下面证明对任意x,y∈R+,x2x+y+yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立．法一（综合法）：∵x2x+y+yx+2y=x2+y2+4xy2x2+2y2+5xy=12(1+3xy2x2+2y2+5xy)≤12(1+3xy4xy+5xy)=23，∵xx+2y+y2x+y=2x2+2y2+2xy2x2+2y2+5xy=1-3xy2x2+2y2+5xy≥1-3xy4xy+5xy=23．∴对任意x,y∈R+,x2x+y+yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立．法二（分析法）要证：x2x+y+yx+2y≤23，∵x0,y0，∴只要证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即x2+y2≥2xy，这显然成立，∴x2x+y+yx+2y≤23．11-5再证：xx+2y+y2x+y≥23，只需证：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(2x+y)(x+2y),即2xy≤x2+y2，这显然成立，∴xx+2y+y2x+y≥23．综上所述,存在实数m=23，使得对任意正数x,y都有x2x+y+yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立．例5．在数列{an}中，已知a1=2，an+1=2anan+1，（1）证明数列{1an-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求证：∑ni=1ai(ai-1)3．证明：（1）由an+1=2anan+1两边取倒数，得1an+1=12an+12，即1an+1-1=12(1an-1)，∵a1=2，1a1-1=-12，∴数列{1an-1}是首项为-12，公比为12的等比数列．∴1an-1=-12·(12)n-1=-(12)n，∴an=2n2n-1．（2）∵an=2n2n-1，∴ai(ai-1)=2i(2i-1)2(i=1,2,3,…,n)．当i≥2时，ai(ai-1)=2i(2i-1)22i(2i-1)(2i-2)=2i-1(2i-1)(2i-1-2)=12i-1-1-12i-1．∴∑ni=1ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)+…+an(an-1)21(21-1)2+(121-1-122-1)+(122-1-123-1)+…+(12n-1-1-12n-1)=2+1-12n-13．另解：当i≥2时，ai(ai-1)=2i(2i-1)22i(2i-1-1)(2i+1-1)=23(12i-1-1-12i+1-1)．∴∑ni=1ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)+…+an(an-1)21(21-1)2+23(121-1-123-1)[phone])+…+23(12n-1-1-12n+1-1)=2+23(1+13-12n-1-12n+1-1)2+893．例6．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，(n∈N*)．（1）求a1、a2；11-6（2）求{an}的通项公式．解：(1)当n=1时，方程x2-a1x-a1=0有一根为S1-1，∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，解得a1=12；当n=2时，方程x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a1+a2-1=a2-12，∴(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0，解得a2=16．(2)由题设知,方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,∴(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，即Sn2-2Sn+1-anSn=0，当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入上式得：SnSn-1-2Sn+1=0，∴Sn=12-Sn-1．由(1)知，S1=a1=12，S2=a1+a2=23，S3=12-S2=34，∴猜想：Sn=nn+1．下面用数学归纳法证明这个结论．①当n=1时，已证成立；②假设n=k时，结论成立，即Sk=kk+1，那么当n=k+1时，Sk+1=12-Sk-1=12-kk+1=k+1(k+1)+1，∴n=k+1时，结论成立．根据①②可知，对一切n∈N*，Sn=nn+1成立．∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=1n(n+1)，又当n=1时，a1=12也满足上式，∴数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)．【新题备选】1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且