极限的求法与探究研究毕业论文

本科生毕业论文（设计）题目：极限的求法与技巧的探究院（系）数学与统计系专业班级数学与应用数学2011级应用班学生姓名屈瑶瑶指导教师（职称）郑高民（副教授）提交时间二〇一五年三月学号2011211335分类号O13安康学院本科生毕业论文极限的求法与技巧的探究研究屈瑶瑶（安康学院数学与统计系,陕西渭南714000）摘要：极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求极限的最基本的方法还是利用极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的函数，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。此文笔者从不同的角度以及不同的题型进行探究,总结了部分求极限的方法,并且对这些不同的方法适用求哪种类型的极限以及它的要求和注意的地方进行了探索,通过典型的例题和分析从而帮助更多初学者能更容易、更快掌握求极限的方法。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。关键词：极限;高等数学;函数Thelimitsofcalculationmethodsandskillsofexplorationresearch聞創沟燴鐺險爱氇谴净。QUYaoyao（DepartmentofMathematicsandStatistics,AnkangUniversity,Weinan,Shanxi714000）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。Abstract:Limithasbeenakeycontentofmathematicalanalysis,andtolimitthemethodisvaried,throughinductionandsummary,welistsomecommoncalculationmethods.Themostbasicwaytolimitwasusingthedefinitionoflimit,alsopayattentiontotheuseoftwoimportantlimits,whichcanmakeuseofequivalentsubstitution,expansion,reductionofafraction,trianglesubstitutionmethodintobetterfunction,canalsousethelawsofarithmeticofsequencelimitiscalculated.Clampforcetheoremandmonotoneboundedprincipleisanimportanttheorem,whenaskedtofocusonusingtheTaylorformula,loswillreachlaw,Riemannlemmaisaimedatsomespecialseries.Thisarticletheauthorfromdifferentanglesanddifferenttopic,partofthelimitofthemethodaresummarized,andapplicabletothesedifferentapproachesforwhichtypeoflimitanditsrequirementsandpayattentiontoplaceexplores,throughtypicalexamplesandanalysistohelpbeginnerscanmoreeasierandfastertomasterthemethodoflimit.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。安康学院本科生毕业论文KeyWords:limit;highermathematics;function安康学院本科生毕业论文目录1.利用定义求极限...................................1彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2.利用极限的四则运算性质求极限......错误!未定义书签。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。3.利用两个重要极限公式求极限.......................................34.利用定积分求极限.................................................45.利用洛比达法则求极限.............................................56.利用Stolz公式求极限.............................................67.利用无穷小量求极限...............................................88.利用泰勒公式求极限................错误!未定义书签。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。9.利用迫敛性求极限................................................1110.利用中值定理求极限..............................................1211.利用归结原则求极限................错误!未定义书签。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。12.用两个准则求极限..................错误!未定义书签。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。13.利用导数的定义求极限..............错误!未定义书签。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。14.利用级数收敛的必要条件求极限......错误!未定义书签。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。15.利用换元法求极限..................错误!未定义书签。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。结束语............................................17铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。参考文献............................................错误!未定义书签。致谢.............................错误!未定义书签。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。安康学院本科生毕业论文极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。1.利用定义求极限极限的概念可分为函数的极限和数列的极限两个方面.数列极限的定义：若任意给定一正数,总存在正整数N使得对所有的nN的nX都有nXa,那么称常数a是数列nX在n趋于无穷时的极限,可记作：limnxXa.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。函数极限的定义：(1).若函数fx在0x的某一去心邻域内有定义,对任给的正数,总存在正数,使满足00xx的所有x对应的fx满足fxA,则称A为函数fx当0xx时的极限,记作：limxfxA;蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。(2).若函数fx在x大于某一正数时有定义,对任给的正数,总存在正数,使满足x的所有x对应的fx满足fxA,则称A为函数fx当x时的极限,记作：limxfxA.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。安康学院本科生毕业论文上面陈述的定义我们可以利用它来求极限,而且在证明极限的存在性时我们经常使用定义法.例1.证明()4221=+xx→lim证：∀＞0，()12422－－xx=+＜成立，解得1x＜2取,2=于是存在,2:x∀0＜1－x＜,有()422－+x＜故()4221=+xx→lim2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。例2：求极限(1)2211lim21xxxx(2)312lim3xxx(3)3113lim()11xxx(4)已知111,1223(1)nxnn求limnnx解：(1)2211lim21xxxx＝1(1)(1)lim(1)(21)xxxxx＝11lim21xxx＝23安康学院本科生毕业论文(2)312lim3xxx＝3(12)(12)lim(3)(12)xxxxx＝33lim(3)(12)xxxx＝14(3)3113lim()11xxx＝2312lim1xxxx＝21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx＝212lim1xxxx＝-1(4)因为111,1223(1)nxnn111111111122334411nnn11n所以1limlim(1)1nnnxn3：利用两个重要极限公式求极限在求极限的过程中,0sinlim1xxx和1lim(1)xxex、10lim(1)xxxe及其变形的重要方法是常用到的方法,但在运用时我们得注意自变量的趋向方式以及函数的形式.从观察可以发现0sinlimxxx和sinlimxxx函数形式一样,但是不同的是sinlimxxx中的自变量x,此时的sinxx是无穷小量与有界量的乘积的形式,因此sinlim0xxx;同样可以看到1lim(1)xxx和10lim(1)xxx函数的形式一致,但是不同的是1lim(1)xxx中的自变量x,此时的1(1)xx是0的形式.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。应用1lim(1)xxex、10lim(1)xxxe时应该注意的地方是函数是1的形式,而且括号里为1加上某一项,其指数是该项的倒数的形式.在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。例3：求下列函数的极限[4](1)230limlimcoscoscoscos2222nnnxxxx(2)22lim(1)mmnm安康学院本科生毕业论文解：(1)23coscoscoscos2222nxxxx＝231sincoscoscoscossin222222sin2nnnxxxxxxx＝1sin2sin2nnxx23limcoscoscoscos2222nnxxxx＝1limsin2sin2nnnxxsin=lim2sin2nnnxx＝sinxx230limlimcoscoscoscos2222nxnxxxx＝0limxsinxx＝1(2)22lim(1)mmnm＝22222()2lim(1)mnmnmmnm＝2222()2lim(1)mnmnmnm＝0e＝14.利用定积分求极限由定积分的定义]7[知，若fx在,ab上可积，则可对,ab用某种特定的方安康学院本科生