正弦定理的几种证明方法

正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有sinCDaB,sinCDbA。由此，得sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，故有sinsinabABsincC.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有sinsinCDaCBDaABC，sinCDbA。由此，得sinsinabAABC，同理可得sinsincbCABC故有sinsinabAABCsincC.由(1)(2)可知，在ABC中，sinsinabABsincC成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sinsinabABsincC.1’用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B，需要定位点C，即：在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求边AC的长b解：过C作CDAB交AB于D，则cosADcAsinsincossintansincosBDcAcACDCCCCCsincos(sincossincos)sincossinsinsincACcCAACcBbACADDCcACCCabDABCABCDba推论：sinsinbcBC同理可证：sinsinsinabcABC2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为则Rt△ADB中,ABADBsin∴∴S△ABC=BacADasin2121同理,可证S△ABC=AbcCabsin21sin21∴S△ABC=BacAbcCabsin21sin21sin21∴在等式两端同除以ABC,可得bBaAcCsinsinsin即CcBbAasinsinsin.3.向量法证明正弦定理(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-C由向量的加法原则可得ABCBAC为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到ABjCBACj)(由分配律可得ABjCBjAC∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-Aj∴∴CcAasinsin另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得BbCcsinsin(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B∴CcBbAasinsinsinDCBAC(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C由ABCBAC,得j·ACj·CB=j·ABj即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-∴∴CcAasinsin另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB夹角为B.同理,可得CcBbsinsin.∴CcBbsimAasinsin4.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=RcBC2sinsin∴RCc2sin同理,可得RBbRAa2sin,2sin∴RCcBbAa2sinsinsin这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式CcBbAasinsinsinACBA