余弦定理的证明方法大全(共十法)

第1页共4页余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有2222cosabcbcA,2222cosbcacaB,2222coscababC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:2222cosabcbcA.证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:()()CBCBABACABAC222ABACABAC222cosbcbcA即,2222cosabcbcA.证法二:本方法要注意对A进行讨论.(1)当A是直角时,由22222222cos2cos90bcbcAbcbcbca知结论成立.(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则在RtACD中,cosADbA,sinCDbA.从而,cosBDABADcbA.在RtBCD中,由勾股定理可得:222BCBDCD22(cos)(sin)cbAbA222cosccbAb即,2222cosabcbcA.说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB第2页共4页点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则在RtACD中,cos()cosADbAbA,sin()sinCDbAbA.从而,cosBDABADcbA.在RtBCD中,由勾股定理可得:222BCBDCD22(cos)(sin)cbAbA222cosccbAb即,2222cosabcbcA.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cosabcbcA成立.证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则在RtABD中,sinBDc,cosADc.在RtACD中,sinCDb,cosADb.由coscos()coscossinsinA可得:2cosADADBDCDADBDCDAcbcbbc2222ADBDCDbc222222cBDbCDBDCDbc222()2bcBDCDbc2222bcabc整理可得2222cosabcbcA.证法四:在ABC中,由正弦定理可得sinsinsinsin()abccABCAB.从而有sinsinbAaB,………………………………………………………………①sinsin()sincoscossincAaABaABaAB.…………………………②将①带入②,整理可得coscosaBcbA.…………………………………………③将①,③平方相加可得22222(cos)(sin)2cosacbAbAbcbcA.图2-2DBACβα图3DBAC第3页共4页即,2222cosabcbcA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A,(,0)Bc,(cos,sin)CbAbA,再由两点间距离公式可得2a22(cos)(sin)cbAbA222cosccbAb.即,2222cosabcbcA.证法六:在ABC中,由正弦定理可得2sinaRA,2sinbRB,2sincRC.于是,222224sin4sin()aRARBC222224(sincoscossin2sinsincoscos)RBCBCBCBC222224(sinsin2sinsin2sinsincoscos)RBCBCBCBC2224(sinsin2sinsincos())RBCBCBC2224(sinsin2sinsincos)RBCBCA22(2sin)(2sin)2(2sin)(2sin)cosRBRCRBRBA222cosbcbcA即,结论成立.证法七:在ABC中,由正弦定理可得2sinaRA,2sinbRB,2sincRC.于是,2222cosabcbcA22222224sin4sin4sin8sinsincosRARBRCRBCA2222sin2sin2sin4sinsincosABCBCA22sin2cos2cos24sinsincosABCBCA222cos22cos()cos()4sinsincosABCBCBCA由于cos()cos()cosBCAA,因此2coscos()cos()2sinsincosABCBCBCAcoscos()2sinsinABCBCcoscoscossinsincos()ABCBCBC.这,显然成立.xy图4BA(O)C第4页共4页即,结论成立.证法八:如图5,以点C为圆心,以CAb为半径作C,直线BC与C交于点,DE,延长AB交C于F,延长AC交C于G.则由作图过程知2cosAFbA,故2cosBFbAc.由相交弦定理可得:BABFBDBE,即,(2cos)()()cbAcbaba,整理可得:2222cosabcbcA.证法九:如图6,过C作CD∥AB,交ABC的外接圆于D,则ADBCa,BDACb.分别过,CD作AB的垂线,垂足分别为,EF,则cosAEBFbA,故2cosCDcbA.由托勒密定理可得ADBCABCDACBD,即,(2cos)aaccbAbb.整理可得:2222cosabcbcA.证法十:由图7-1和图7-2可得2a22(cos)(sin)cbAbA,整理可得:2222cosabcbcA.bcosAabsinAc-bcosAac-bcosAbsinA图7-2图7-1DEDABCCB余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.bac2bcosA-cb-abb图5GDEFCABcbaa图6FEDCBA