第三章-直线与方程知识点及典型例题

第三章直线与方程知识点及典型例题1.直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2.直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。例.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=tan30°=33∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—3例：直线053yx的倾斜角是()A.120°B.150°C.60°D.30°②过两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1)l1//l2(2)l1⊥l1时分别求出m的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3.直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都xyo12l1l2等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况①两个截距都不为0②或都为0；但不可能一个为0，另一个不为0.其方程可设为：1xyab或y=kx.⑤一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围(3)特殊式的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点A(8，—2)；.(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；.(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；.(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）A．C=0，B0B．C=0，B0，A0C．C=0，AB0D．C=0，AB0例2：直线l的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.0且BC0，则l直线不经的象限是（）A．第一B．第二C．第三D．第四4.两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5.已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组0CBA0CBA222111yxyx的一组解。两条直线的交角：两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.若方程组无解21//ll；若方程组有无数解1l与2l重合6.点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点P坐标P(xo，yo)直线l方程Ax+By+C=0点P(xo，yo)在直线l上坐标),(00yx满足方程：Ax+By+C=0点P(xo，yo)是l1、l2的交点坐标(xo，yo)满足方程组0CBA0CBA222111yxyx7.两条直线的位置关系的判定公式A1B2—A2B1≠0方程组有唯一解两直线相交,0CBCB0BABA12211221或A1C2—A2C1≠0无解两直线平行0CBCB0BABA12211221或A1C2—A2C1=0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足时l1⊥l2。答：A1A2+B1B2=0经典例题；例1.已知两直线l1：x+(1+m)y=2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行解：例2.已知两直线l1：(3a+2)x+(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值解：例3.求两条垂直直线l1：2x+y+2=0和l2：mx+4y—2=0的交点坐标解：例4.已知直线l的方程为121xy，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。8.两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=212212)()(yyxx9.点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离22ooBACBAd|yx|10.两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为2221BACCd例1：求平行线l1：3x+4y—12=0与l2：ax+8y+11=0之间的距离。例2：已知平行线l1：3x+2y—6=0与l2：6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。11.直线系方程已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：l：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0或者(A1x+B1y+C1)+A2x+B2y+C2=0都可以例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为。(m∈R)例2：求满足下列条件的直线方程(1)经过点P(2，3)及两条直线l1：x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；(2)经过两条直线l1：2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；(3)经过两条直线l1：2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直；解：12.中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(221xx，221yy)例.已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。13、对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).(1)分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2)分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3)求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。(4)求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(—1，—2)关于直线l：x+y—2=0的对称点的坐标为。例3：已知圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为：。A.(x+2)2+(y—2)2=1B.(x—2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x—2)2+(y—2)2=1[基础训练A组]一、选择题1．设直线0axbyc的倾斜角为，且sincos0，则,ab满足（）A．1baB．1baC．0baD．0ba2．过点(1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（）A．012yxB．052yxC．052yxD．072yx3．已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行，则m的值为（）A．0B．8C．2D．104．已知0,0abbc，则直线axbyc通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．直线1x的倾斜角和斜率分别是（）A．045,1B．0135,1C．090，不存在D．0180，不存在6．若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则实数m满足（）A．0mB．23mC．1mD．1m，23m，0m二、填空题1．点(1,1)P到直线10xy的距离是________________.2．已知直线,32:1xyl若2l与1l关于y轴对称，则2l的方程为__________;若3l与1l关于x轴对称，则3l的方程为_________;若4l与1l关于xy对称，则4l的方程为___________;3．若原点在直线l上的射影为)1,2(，则l的方程为____________________。4．点(,)Pxy在直线40xy上，则22xy的最小值是________________.5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)BD，则直线l的方程为________________。三、解答题1．已知直线AxByC0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时是x轴；（5）设Pxy00，为直线AxByC0上一点，证明：这条直线的方程可以写成AxxByy000．2．求经过直线0323:,0532:21yxlyxl的交点且平行于直线032yx的直线方程。3．经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4．过点(5,4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．（数学2必修）第三章直线与方程[综合训练B组]一、选择题1．已知点(1,2),(3,1)AB，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．524yxB．524yxC．52yxD．52yx2．若1(2,3),(3,2),(,)2ABCm三点共线则m的值为（）Ａ．21Ｂ．21Ｃ．2Ｄ．23．直线xayb221在y轴上的截距是（）A．bB．2bC．b2D．b4．直线13kxyk，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．(0,0)B．(0,1)C．(3