Γ函数和贝塔函数

函数10,0sxsxedxs。先我们来考虑其敛散性。当s≥1时，s为常义函数，此时显然可以证明其收敛。当01s时，x=0处有无穷间断点，我们将n分两个部分考察：1110sxIxedx121sxIxedx而111111sxsxsxexexb，从而1I收敛：对于2I则121limlim0ssxxxxxxxee121limlim0ssxxxxxxxee，所以由比较审敛法知2I收敛。下面，我们来看一下函数函数的一些性质。性质1：1sss(1.1)证：01sxsxedx=100sxsxxesxedx=ss。显然1=1.所以当s=n为整数时，有递推关系可知：1!nn(1.2)性质2：0limss(1.3)证；001limslimssss，而1=1。从而0limss。性质3：1(21)2122ninnn(1.4)证：先我们来导出一个结论：12.2222222000200004xxyxyrxyedxedxedyedxdyderdr从而202xedx。1120012222xxxedxedx再利用性质1，又递推关系得11(21)(21)2112222nniinnnnn贝塔函数贝塔函数：1110,1mnBmnvvdv。性质1,,BmnBnm(1.5)证：1110,1nmBnmvvdv1tv，即dtdv所以01111110,11,mmnnBnmttdtttdtBmn。性质2：1,,1mBmnBmnnm(1.6)证：111112221110000120,111111,1mmmmnnnnmnBmnvvdvvvvdvvvdvvvdvBmnvvdv而1112111000111111,1mmmnnnnvvdvvvvvdvmmnBmnm所以有：,1,,1nBmnBmnBmnm即1,,1mBmnBmnnm性质3：若m,n为正整数，则有22,,222mnmnBmn（1，7）证：当m,n均为偶数时。显然由性质1,2推得11!!2222,122!22mnmnmnBmnmn。先我们来得到以下结论：111111111222,,1,,1,13221222BBB（1,8）证；11111112200011,122arcsin221dvBvvdvxv而112211。同样我们可以证明其余两式。由性质1、2，我们可知当我们通过对m,n利用性质1、2进行降次处理时。分母与分子仅是降次次数之间的关系与具体路径无关。此时我们可以通过递推法，写出降次的通式,即：12121212...12....222222B,,12222123...2222mmmnnnkkmnmnBkkmnmnmnmnkk1212122222,.2222mnmnkkmnBkkmnmnkk所以整理该式有；121212,,2222222222mnmnBBkkmnmnkkmnmnkk当12kk、取得的，足够大使得1222mnkk、取12或1时，由（1、8）有121212,,22221222222mnmnBBkkmnmnkkmnmnkk所以22,222mnmnBmn