著名的15个平面几何定理

1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半证明：利用向量，简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.∴向量OG=1/3向量OH，∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。2、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。证明：如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。证明：如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF，连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。证明：在△ACD、△ABF中，AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF∴△ACD≌△ABF(SAS)∴∠ADC=∠ABF∴A、B、O、D四点共圆。∴∠AOB=120°。同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知△RST是正三角形。在△ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连接GA、GB、GC。易用面积法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。∵点到线之间，垂线段最短，∴OA+OB+OC=GX+GY+GZGA+GB+GC∴点O是费马点。4、塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则；其逆亦真证明：同理以上三式相乘，得5、密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。证明：我们可以反过来思考这个问题，设M是△ABC外接圆上任意一点，D、E、F分别是AB、BC、CA直线上的点，如果使得D、B、M、E四点共圆，C、F、M、E四点共圆，A、F、M、D四点共圆，那么D、E、F三点必然共线。证明起来也很简单。只需要证明∠DEB=∠CEF即可。∵A、B、M、C四点共圆∴∠DBM=∠FCM∵A、F、M、D四点共圆∴∠BDM=∠CFM即△MBD∽△MCF，∠BMD=∠CMF；∵D、B、M、E四点共圆∴∠DEB=∠BMD∵C、F、M、E四点共圆∴∠CEF=∠CMF∴∠DEB=∠CEF，即D、E、F三点共线。6、葛尔刚（Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。证明：∵AF=AE,BF=BD,DC=DE（切线长定理）∴(AF/BF)×(BD/CD)×(CE/AE)=1∴AD、BE、CF三线共点（赛瓦定理的逆定理）7、西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。证明：已知：ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z，求证：X、Y、Z三点共线。证明：如图，连接PB、PC∵∠AYP=∠BXP=90°∴A、Y、P、X四点共圆，∠AYX=∠APX同理C、Z、Y、P四点也共圆∴∠ZYC=∠CPZ在ΔAXP和ΔCZP中∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ∴∠APX=∠ZPC，∠AYX=∠ZYC∵∠AYX+∠XYC=180°∴∠ZYC+∠XYC=180°∴X、Y、Z三点在同一条直线上9、笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。10、摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则三角形DDE是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。证明：设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+αFED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60∴△FED为正三角形。[1]11、帕斯卡（Paskal）定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线证明：面积法：设AB交DE于G，BC交EF于I，CD交AF于H连接GI，设AF交GI于H'(如图1)，CD交GI于H''(如图2)要证G、I、H共线，只需证AF、CD、GI交于一点现在只需证：，即证：共边定理+共角定理可得：命题得证12、托勒密（Ptolemy）定理：在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD证明：（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）13、阿波罗尼斯（Apollonius）圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”证明：令B为坐标原点，A的坐标为(a,0).则动点P(x,y)满足=k（为实数，且不为±1）且PA=PB=整理得(k2﹣1)(x2+y2)﹢2ax﹣a2=0当k不为±1时,它的图形是圆.当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线.梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理.15、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边证明：设PH⊥CD,PM交AB于M.显然AP/BP=DP/CP,故AM=BM←AP*sin∠APM=BP*sin∠BPM←DP*sin∠PDH=CP*sin∠PCD←PH=PH,证毕