博弈论基础作业及答案

博弈论基础作业一、名词解释纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识见PPT二、问答题1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等；以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。请用同样的方法分析其他例子。智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。请用同样的方法分析其他例子。2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。3.当求职者向企业声明自己能力强时，企业未必相信。但如果求职者拿出自己的各种获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。这是为什么？由于口头声明几乎没有成本，因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。当然能力强的人也会声明自己的能力强。也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出同样的声明。这样口头声明就不能有效的传递信息，因此企业不会轻易相信。而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。由于获得证书是要付出代价的，但代价却引人而异。能力强的个人可以相对轻易获得证书，而能力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书，从而获得企业的职位是不划算的，因此干脆就不要获奖证书。因此获奖证书就成为个人能力的信号。4.五个海盗抢得100颗钻石,他们为分赃发生了争议,最后达成协议,由抓阄确定出分赃顺序，然后按照民主程序进行分赃。首先由1号海盗提出分赃方案,五人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按1号提出的方案分赃,否则1号将被扔到海里喂鲨鱼。接着由2号提出方案,四人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按2号提出的方案分赃,否则2号将被扔到海里喂鲨鱼,依此类推。如果你是1号海盗,你该提什么样的方案?说明理由。假设（1）五个强盗都很聪明，而且大家知道大家很聪明，大家知道大家知道大家很聪明，如此等等。（2）每个海盗都很贪婪，希望获得尽可能多的钻石，但是又不想为了钻石丢掉性命。（3）给定一个方案，只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时，海盗才选择赞成。第一个海盗的提议应该是：五个海盗分别获得的钻石数目为97，0，1，0，2，或者97，0，1，2，0。具体理由自己思考，方法是倒推法。三、计算题1.试计算表1中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡。表1一个战略式表述博弈BLMRAU1,23,12,4M5,67,12,6D3,12,07,8对B而言，战略M严格劣于R；（因为14,16,08），因此剔除B的战略M；构成新的博弈如下BLRAU1,22,4M5,62,6D3,17,8在新的博弈中，对于A而言，战略U严格劣于D(因为13,27)，因此剔除A的战略U，构成新的博弈如下：BLRAM5,62,6D3,17,8对于新的博弈中，已经没有严格的劣战略，因此没有严格的劣战略可以剔除。所以该博弈不是重复剔除严格劣战略可解的。但是存在弱劣战略。对于B而言，战略L弱劣于R（因为6=6，18）,因此剔除B的弱劣战略L，构成新的博弈如下：BRAM2,6D7,8在新的博弈中，对于A而言，战略M严格劣于D（因为27）,因此剔除A的战略M，构成新的博弈如下：BRAD7,8因此，重复剔除（弱）劣战略均衡为（D，R）（ps:如果同学们用划线的方法求纳什均衡，就可以发现纯战略nash均衡有两个：（M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣战略的方法，把其中一个纳什均衡剔除掉了）2.试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。2LR1U2,23,3D4,41,2给定1选择U，2的最佳选择是R(因为23)，在相应位置划线给定1选择D，2的最佳选择是L（因为42），在相应位置划线给定2选择L，1的最佳选择是D（理由自己写），在相应位置划线给定2选择R，1的最佳选择是U（理由自己写），在相应位置划线找两个数字下都划线的，显然有两个纯战略纳什均衡：),(RU和),(LD据Wilson的奇数定理，可能有一个混合战略均衡。设1选U的概率为，那么选D的概率为1设2选L的概率为，那么选R的概率为1，如果存在混合战略，那么2选战略L和R的期望收益应该应该相等，因此应有)1(23)1(42RLUU?自己求解（2分）同样，1选战略U和D的期望收益应该应该相等)1(14)1(32DUUU?得混合均衡：?3.市场里有两个企业1和2。每个企业的成本都为0。市场的逆需求函数为P=16-Q。其中P是市场价格，Q为市场总产量。（1）求古诺（Cournot）均衡产量和利润。（2）求斯坦克尔伯格（Stackelberg）均衡产量和利润。(1)设两个企业的产量分别为1q，2q，有21qqQ，因此利润函数分别为：21211121116)16(qqqqqqq21222221216)16(qqqqqqq利润最大化的一阶条件分别为：02162111qqq02161222qqq因此企业1和企业2的反应函数分别为：21621qq21612qq联立，得到?21qq。自己求解（2）设企业1先行，企业2跟进。两个企业的产量分别为1q，2q，因此利润函数分别为：21211121116)16(qqqqqqq21222221216)16(qqqqqqq由逆向归纳法，在第二阶段，企业2在已知企业1的产量的情况下，最优化自己的产量，从而得到企业2的反应函数：02161222qqq因此企业2的反应函数为：21612qq在第一阶段，企业1考虑到企业2的反应，从而自己的利润函数为：)216(1616)16(11211212111211qqqqqqqqqqq（2分）要使企业1的利润最大，应满足一阶条件：011q得到?1q。所以?2q。（PS:古诺模型是完全信息静态博弈，求的是纳什均衡；斯坦伯格模型是完全信息动态博弈，求的是子博弈精炼纳什均衡）4.（1）试给出图1中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结果。（2）倘若2告诉1：2的战略是),,(jic，问此时1的最优战略是什么？（3）在（2）中，1和2的战略组合构成一个纳什均衡吗？均衡结果是什么？（4）（3）中的纳什均衡不是子博弈精炼的，原因是什么？1ab22cdej(1,2)(2,1)1(6,3)fg(3,2)li(4,6)(0,2)答：（1）1ab22cdej(1,2)(2,1)1(6,3)（2分）fg(3,2)li(4,6)(0,2)由逆向归纳法，子博弈精炼均衡为)],,(),,[(lecgb，均衡结果为（4，6）。（2）若2的战略为),,(jic，则1的最优战略为),(fb。（3）给定2的战略为),,(jic，1的最优战略为),(fb；反之，给定1的战略),(fb，战略),,(jic是2的一个最优战略。所以它们构成一个纳什均衡，均衡结果为（6,3）。22（4）因为2的战略),,(jic中含有不可置信的威胁i，使1在f和g之间不敢选g。当博弈进行到2在l与i之间进行选择的时候，2必会选l，给定如此，1选g而不是f，此时2会选e，这就是子博弈精炼均衡。5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。1R(1,2)LL2lrlr(2,4)(0,1)(3,1)(7,2)当“2”看见“1”未选R时，设他认为“1”选L的概率为P，“1”选L的概率为1－P，则“2”选l的期望支付为：PPP31)1(14“2”选r的期望支付为PPP2)1(21当PP231，即41P时，“2”选l，而给定“2”选l，“1”选L收益为2，选L的收益为3，选R的收益为1，因此“1”会选L。而给定“1”选L，“2”认为410P（注意：P是“1”选L的概率），与41P矛盾。故41P不会有均衡；当PP231，即41P时，“2”选r，给定“2”选r，“1”选L收益为0，选L的收益为7，选R的收益为1，因此“1”会选L。而给定“1”选L，“2”认为0P，与41P吻合。于是，得到均衡战略：rPL,0,，即“1”在第一阶段选择L，“2”虽然看不到“1”的选择，但“2”认为“1”选择L的概率为0，所以“2”在第二阶段选择r，这样的战略构成了一个贝叶斯精炼纳什均衡。均衡结果为（7，2）。