理论力学知识点基本概括

第5页共44页参照物———有限大，参照空间———无限大;描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间（2）坐标系在参考空间中选定，如直角坐标系、柱坐标系（极坐标系）、球坐标系、自然轴系等。（3）运动的描述由运动方程（含时间）或运动轨迹（不含时间）描述。1.矢量法：在参考空间中选定原点，描述物体上某点任意时刻的矢径r�.简单、直观，矢量方程、结论只与参考空间有关：点的运动方程：)(trr��=，点的速度、加速度：dtrdtv��=)(，dtvdta��=)(2.分析法：在参考空间中建立坐标系，描述物体上某点任意时刻的坐标（如x,y,z）.复杂，但便于上机，标量方程，结论还依赖于坐标系：点的运动方程：)(),(),(tzztyytxx===点的速度、加速度：dtdvtadtdvtadtdvtadtdztvdtdytvdtdxtvzzyyxxzyx======)(,)(,)()(,)(,)(（4）约束约束即物体的运动所受到的几何限制条件。几种典型的约束1.柔绳约束和刚性杆约束2.光滑面约束第6页共44页3.光滑圆柱铰链约束所联系的物体可绕柱铰链在平面内转动4.光滑球铰链约束5.固定铰支座6.活动铰链支座7.固定端（固支端）约束8.套筒与滑块（5）广义坐标与自由度广义坐标iq：确定物体在空间中位置的一组i个独立参数例：在平面内任意运动的圆轮，再加一个固定铰支座1个广义坐标ϕ，即自由度为1。自由度数S——广义坐标的个数。第7页共44页不同研究对象、运动形式与自由度数研究对象运动形式空间运动平面运动质点自由S=3S=2非自由S3S2质点系（n个质点）自由S=3nS=2n非自由S3nS2n刚体（无穷多质点）自由S=6S=3非自由S6S3例1.1分析以下各系统的自由度，并选择一组广义坐标（1）杆AB，在杆所在的平面内作平面运动S=3，广义坐标：θ,,AAyx（2）若对（1）中杆的平面运动加以如下的约束：S=1，广义坐标：θS=1，广义坐标：θ（3）刚体系统S=2,广义坐标：βθ,1.2点的运动描述运动方程的建立1.2.1点的运动的矢量描述，矢量法1.点的运动方程研究对象：点M，选定参考空间及一参考点，点的运动方程：)(trr��=（1.1）点的运动轨迹：r�的矢端图第8页共44页2.点的速度、加速度：速度：rdtrdv̇���==（1.2）速度大小：dtrdvv��==，速度方向：沿轨迹切线，指向运动方向加速度：rdtvdȧ̇���==（1.3）加速度大小：rvȧ̇�̇�==，加速度方向：速度矢端图的切线方向注意：1）)(),(),(tatvtr���都与参考空间有关2）avr���,,都是矢量，应以矢量符号（带箭头）表示1.2.2点的运动的坐标描述，分析法选定参考空间，建立坐标系运动方程)(txx=平面运动轨迹)(tyy=运动（1.4）)(tzz=若平面内质点B为非自由质点，S3,可选择广义坐标，例如：)(),(ttθφ：⎪⎩⎪⎨⎧===))(),(())(),(())(),((ttzzttyyttxxθφθφθφ（1.5）速度：⎪⎩⎪⎨⎧===zvyvxvzyẋ̇̇（1.6）加速度：⎪⎩⎪⎨⎧======zzyyxxvzavyavxȧ̇̇̇̇̇̇̇̇（1.7）矢量法与分析法的关系：位置：ktzjtyitxtr����)()()()(++=（1.8）第9页共44页速度：kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdtvzyx��������++=++==)(（1.9）加速度：kajaiakzjyixdtvdtazyx����̇̇�̇̇�̇̇��++=++==)(（1.10）1.2.3建立点的运动方程的方法（1）建立坐标系，明确研究对象，自由度，选定广义坐标（常可选为题中已给定随时间变化规律的几何参数）。（2）将点的坐标表示为广义坐标的函数，并将广义坐标随时间变化的规律代入。（3）进一步，由运动方程求导可求速度、加速度。第二章刚体的平面运动2.1刚体平面运动的概念与特征刚体平面运动的定义：刚体上任意一点到某固定平面的距离始终不变，刚体上各点的运动轨迹均为平面曲线。刚体平面运动的简化：简化为一个平面图形的运动。刚体平面运动的三种情形:平面平移，定轴转动，一般平面运动1.平移：刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的轨迹都相同（故各点的速度、加速度都相同）。平移时各点的轨迹可以是曲线——曲线平移。2.定轴转动：刚体内或延伸部分始终存在一根固定不动的直线成为转轴，各点（除转轴上各点外）的轨迹为大小不同的圆周。3.一般平面运动：既非平移也非定轴转动，各点轨迹为形状不同的平面曲线。2.2矢量法研究平面图形的运动矢量法常用于速度分析和加速度分析1.平移刚体上各点的速度、加速度平移：A，B为刚体上的两点，AB直线始终平行，BAr�为常矢量，BAABrrr���+=∴BABABAaavvrr����̇�̇�=⇒=⇒=平移时刚体上任意一点的速度、加速度都相同2.定轴转动刚体上各点的速度、加速度设刚体绕z轴定轴转动：kk����ααωω==,，刚体上任意点M矢径)(tr�大小不变，仅方向改变，故rkdtrdrd�����×=×Φ=)(ωrdtrdv����×==ω（2.1）定轴转动刚体上一点的速度大小为ω⋅=MMRvMR为M点到转轴的距离，速度方向垂直于M点到转轴的半径且与ω一致。第10页共44页对速度矢量求导，得加速度：nMtMaarrvrdtrdrdtddtrddtvda�������������������+=××+×=×+×=×+×=×==)()(ωωαωαωωω（2.2）⎩⎨⎧××=×=)(raranMtM�������ωωα法向加速度切向加速度（2.3）其大小为2ωα⋅=⋅=MnMMtMRaRa，方向如图3.一般平面运动刚体上各点的速度分析（1）两点速度关系（基点法）已知刚体上某点A的速度（取A为基点），求刚体上另一点B的速度：BAABAABBAABBAABvvrvvrrrrrr������̇�̇�̇����+=×+=+=+=ω上式中记BABArv���×=ω关于BAv�（B相对于A的速度）应注意1）BAv�的大小：ABvBA⋅=ω2）BAv�的方向：垂直于AB连线，指向与ω的转向一致3）两点速度关系式BAABvvv���+=中BAv�表示以A为基点时B点相对于A点的速度。（2）速度投影定理刚体上任意两点的速度在其连线上的投影相等。Bv�[][]ABBABAvv��=若已知一点速度矢量的大小及方向和另一点速度矢量的方向，就可求出其大小。速度投影定理本质为刚体上任意两点的距离不变。（3）速度瞬心法定理：平面图形某一瞬时若角速度ω不为零，则一定存在速度瞬心P，速度瞬心点的速度为0=Pv�。以速度瞬心P为基点，任意点M的速度为MPMrv���×=ω第11页共44页Mv�的大小为MPvM⋅=ω,方向垂直于MP的连线，且与ωw的转动方向一致。故该刚体在该时刻可视为绕速度瞬心轴P轴的瞬时定轴转动。注意：有关速度瞬心的注意事项：1）某个刚体的速度瞬心P点一般不是一个固定的点。2）速度瞬心P点的速度为零，但该点的加速度一不为零。不要用速度瞬心求两点间的加速度关系。3）若仅在某一个时刻刚体的wω=0，则刚体该时刻为瞬时平动，即该时刻刚体的速度瞬心在无穷远处。（4）求解刚体平面运动问题的基本步骤：1)分析系统中各部分刚体的运动形式(平动？定轴转动？一般平面运动？)2)选择适当方法建立已知运动学量与未知量之间的关系：两点速度关系，速度投影定理，速度瞬心法。3)根据已知条件及分析与判断画出速度矢量图。4)求解未知速度矢量的大小。例题1.曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在任意位置ϕ=ωt时，求滑块B的速度。其中解：速度瞬心法过杆AB上A和B两点分别作BAvv��,的垂线，交点为杆AB在图示位置的速度瞬心P。得对三角形ABP应用正弦定理得又，带入上式得例题2.在图中，杆AB长l，滑倒时B端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。ωwABBv�Av�PϕψsinsinlR=BϕωAψOxyBϕωAψOxyvAvBPωABψϕ+ψ−2πABvAPBPv⋅=,APvABA⋅=ωBPvABB⋅=ω)(sin)2π(sinϕψψ+=−BPAPψϕψωcos)(sin+=RvBωRvA=()第12页共44页解：基点法选A点为基点，A点的速度uvA=，则B点的速度可表示为uABlω式中Bv�方向沿OB向下，BAv�方向垂直于杆AB方向如图4.平面图形上两点的加速度关系以A为基点，则点B有：两点速度关系：两边求导：其中BABAnBABAtBAvrara���������×=××=×=ωωωα)(两点加速度关系：nBAtBAABaaaa����++=ABψuOBAABvvvvvvvvvvvv+=方向大小？？ωABψωsin1⋅==lulvBAAB所以ωwOBAr�ABAv�BAv�Bv�BAABAABrvvvv������×+=+=ω)(BABAABBABAABrraadtrdrdtddtvddtvd�������������××+×+=×+×+=ωωαωω相对切向加速度相对法向加速度切向加速度法向加速度MMnMMtMvrara���������×=××=×=ωωωα)(比较：定轴转动时第13页共44页°60AB°30Cωrrl32=其中α⋅=ABaatABtAB的大小为�ABaABaaABanABnABnABtAB指向的方向由的大小为转向一致，指向与方向垂直于���2ωα⋅=例题3.图示平面机构,半径为r的圆盘C以匀角速度ω沿水平地面向右纯滚动；杆AB的长度rl32=，A端与圆盘边缘铰接，B端与可沿倾斜滑道滑动的滑块B铰接；试求图示位置（此时AB杆水平）滑块B的速度和加速度。OBwAaτBAa�nBAa�Ba�Aa�°60AB°30Cωrrl32=PAv�ABωBv�第14页共44页°60AB°30Cω解：1.速度分析轮的速度瞬心为与地面接触点，故A点速度已知，B点速度方向已知，由AB两点速度投影定理：，又AB杆的速度瞬心为P：2.加速度分析nBAa�tBAa�根据轮上A，C两点加速度关系:由B，A两点加速度关系：方向√√√√大小？2ωr?ABlα2ABlω在x方向投影：223230cos60cosωωrraB+°=°∴，235ωraB=∴第三章复合运动3.1绝对运动、相对运动、牵连运动研究对象:点M的运动(动点M)----与选取的参考空间有关1.固定参考空间(定系)----常与地球固连绝对运动----研究对象相对于定系的运动2.运动参考空间(动系)----常固连于相对地球作平面运动(平动、定轴转动、一般平面运动)的刚体上相对运动----研究对象相对于动系的运动牵连运动----动系相对于定系的运动3.复合运动----研究对象的绝对运动可分解为相对运动与牵连运动的合成°=°30cos60cosABvvωωrrvA330cos2=°⋅=ωωrrvB32332=⋅⋅=∴ωωω=°⋅==∴30sin323rrPAvAABBa�Aa�0=∴=轮轮常数，αω∵常数==ωrvC0=Ca�∵nACnACACCAaaaaa�����=++=τ2ωraanACA==∴nBABAABaaaa����++=τ第15页共44页绝对运动=相对运动+牵连运动4.本章研究的关键解题之前必须明确(解题前明确标明)：（1）研究对象(选取动点)----动点是哪个刚体上的哪一点？定系：一般与大地固连（2）参考系(选取动系)动系：与哪个运动物体固连（3）判断动点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹、动系的牵连运动各为如何？3.2点的复合运动的矢量法求解1.速度合成定理：reavvv���+=2.动点、动系的选择与运动轨迹的分析实例分析平底凸轮机构的运动状态动点：凸轮圆心C点。动系：固连平底挺杆AB。动系牵连运动：直线平动。动点绝对运动轨迹为以o为圆心、oc为半径的圆。例题1仿形机床中半径为R的半圆形