高中数学典型例题解析(第六章立体几何初步2)

§6.3平面与平面之间的位置关系一、基础知识导学1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).二、疑难知识导析1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.5．注意二面角的范围是],0[，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式SS/cos＝,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果ll，则，且＝,”；方法三：公式SS/cos＝等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.三、经典例题导讲[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（）.A.α+β900B.α+β≤900C.α+β900D.α+β≥900错解:A.错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.正解：B.[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）.A．90°B．60°C．50°D．45°错解:A.正解：C[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成060角的截面面积是_____.错解：503.用面积射影公式求解：S底=,32510043S截=35060cos底S.错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.正解：483.[例4]点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D－AC－B．（1）求EOF的大小；（2）求二面角EOFA的大小．错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则2EGFH，22GH．因为二面角D－AC－B为直二面角，22222cos90EFGHEGFHEGFH222(22)(2)(2)012.又在EOF中，2OEOF，22222222(23)1cos22222OEOFEFEOFOEOF．120EOF．（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．∴EMG就是二面角EOFA的平面角．在RtEGM中，90EGM，2EG，112GMOE，CDMHGOFABEGHMABCDEFO∴tan2EGEMGGM．∴arctan2EMG．所以，二面角EOFA的大小为arctan2[例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线l和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝，BC＝.解:作l′⊥α，∵α∥β∥γ，∴l′与β、γ也垂直，l′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平面间的距离，A1C1是α与γ之间的距离.∴A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12,1111CABAACABAB=2158125，1111CBBABCAB，BC=2953215.答：AB=215，BC＝29.[例6]如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE又∵α∥β，∴AF∥BE同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=AF21由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=AC37又∵△ACF的面积为72，即FACACAFsin21＝72SDBE=FACACAFEBDBDBEsinsin37212121=8472sin672167FACACAF,答：△BDE的面积为84平方单位.[例7]如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.（1）求证：平面MNG∥平面ACD（2）求SMNG：SADC解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：2GHBGNFBNMPBM连结PF、FH、PH有MN∥PF又PF平面ACD∴MN∥平面ACD同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M∴平面MNG∥平面ACD.（2）由（1）可知：32BHBGPHMG∴MG=PH32，又PH=AD21∴MG=AD31，同理：NG=CDMNAC3131,，∴△MNG∽△ACD，其相似比为1：3∴SMNG：SADC=1：9[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF同理HG∥CD.∴EF∥HG同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n∴anmnEFDBBECDEF,由HE∥AB∴bnmmHEDBDEABHE,又∵四边形EFGH为矩形∴S矩形EFGH＝HE·EF＝nmm·b·nmna＝2)(nmmnab∵m＋n≥2mn，∴（m＋n）2≥４mn∴2)(nmmn≤41，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,S矩形EFGH=2)(nmmnab≤41ab，矩形EFGH的面积最大为41ab.点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.四、典型习题导练1.山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．2.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．3.在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.5.已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.§6.4空间角和距离一、知识导学1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.二、疑难知识导析1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得22rRd4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.三、经典例题导讲[例1]平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.错解：nambmn.错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.正解：|nambmbnamnmn或|.[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.错解：4个.错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.正解：7个.[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）A.2923B.2719C.3130D.2723错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.正解：D.当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多2121sin31sin313131hASBSBSAhDSESESDhShSVVSABSDESABCSDEF27431323221hhSBSESASD最多可盛原来水得1－2723274[例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=22a，∴BMC周长为2x22a+a=(1+2)a，且棱长为b，∴S侧=(1+2)ab[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；ABα，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.解:本题应分两种情况讨论：（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则,30DBF于是221bBDDF.根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.在Rt