2015矩阵论试题参考答案

中南大学2015年秋季硕士研究生《矩阵论》期末考试试题参考答案一、(18分)已知矩阵A相似于200000021000002000000110000011000001−−−.(1)求A的初等因子、不变因子和最小多项式；(2)求3()trAI+；(3)判断A是否为收敛矩阵.解(1)200000021000002000000110000011000001−−−的初等因子为232,(2),(1)λλλ−−+.因为相似的矩阵有相同的初等因子,故A的初等因子也是232,(2),(1)λλλ−−+,从而可得A的不变因子为23123()1,()2,()(2)(1)dddλλλλλλ==−=−+,最小多项式()Amλ为A的最后一个不变因子，即23()(2)(1)Amλλλ=−+.(2)因为A的特征值为2,2,2,1,1,1−−−,故3AI+的特征值为33333321,21,21,(1)1,(1)1,(1)1+++−+−+−+,即9,9,9,0,0,0,从而3()27trAI+=.(3)因为谱半径为特征值的模的最大者,故A的谱半径为()2Aρ=.而A为收敛矩阵的充要条件是()1Aρ,故A不是收敛矩阵.二、(16分)对任意Cnx∈,定义222||||||||||||xxx∞=+,其中2||||⋅和||||∞⋅分别是向量2范数和∞范数.(1)证明：||||x是Cn上的向量范数；(2)求正常数12,cc,使对任意Cnx∈,有1121||||||||||||cxxcx≤≤,其中1||||⋅是向量1范数.(1)证明i)当0x=时,222||||||0||||0||0x∞=+=；当0x≠时,2||||0x,||||0x∞,从而222||||||||||||0xxx∞=+.ii)对于Cλ∈,22222222||||||||||||||||||||||||||||||xxxxxxλλλλλλ∞∞=+=⋅+⋅=⋅.iii)对任何,Cnxy∈,22222222||||||||(||||||)|(||||||)xyxyxyxyxy∞∞∞+=+++≤+++22222222||||2||||||||||||||||2||||||||||||xxyyxxyy∞∞∞∞≤+++++22222222(||||||||)(||||||||)2||||||||2||||||||xxyyxyxy∞∞∞∞≤+++++222222222(||||||||)(||||||||)2(||||||||||||||||)xxyyxyxy∞∞∞∞=+++++22222222222222(||||||||)(||||||||)2||||||||||||||||2||||||||||||||||xxyyxyxyxyxy∞∞∞∞∞∞=++++++222222222222222222(||||||||)(||||||||)2||||||||||||||||||||||||||||||||xxyyxyxyxyxy∞∞∞∞∞∞≤+++++++222222222222(||||||||)(||||||||)2(||||||||)(||||||||)xxyyxxyy∞∞∞∞=++++++2222222(||||||||||||||||)xxyy∞∞=+++2(||||||||),xy=+开方得||||||||||||xyxy+≤+.综上知||||x是Cn上的向量范数.(2)设12(,,,)Tnxxxx=,则111122111||||max||||||||max||||||,||||max||||||||max||||||,niiiinininiiiininixxxxnxnxxxxxnxnx∞∞≤≤≤≤=∞∞≤≤≤≤==≤=≤==≤=≤=∑∑从而2111||||||||||||,||||||||||||,xxnxxxxn∞∞∞≤≤≤≤22212212||||2||||2||||||||||||||||(1)||||1||||1||||,xxxxxxnnxnxnx∞∞∞∞∞≤=≤=+≤+≤+≤+即112||||||||1||||,xxnxn≤≤+于是122,1ccnn==+.三、(16分)(1)设123(,,)Taaaa=是给定的向量,33()ijXx×=是矩阵变量,求d()dTXaX.(2)设110311021A=−−,求sin()AeIA−.解(1)111212313121222323131232333,axaxaxXaaxaxaxaxaxax++=++++111212313121222323131232333()(,,)TXaaxaxaxaxaxaxaxaxax=++++++,111213212223313233()()()d()()()()d()()()TTTTTTTTTTXaXaXaxxxXaXaXaXaXxxxXaXaXaxxx∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂123123123000000000000000000aaaaaaaaa=.(2)A的特征多项式为2110()||311(1)021EAλψλλλλλλ−−=−=+−=−−−．设2()sin(1)()()fegabcλλλλψλλλ=−=+++．将0λ=,1λ=分别代入上式得(0),(1)fcfabc==++.再在上式两边求导后将0λ=代入得(0)fb′=.于是得到方程组sin1,0,sin1cos1,cabcb==++−=解得2sin1cos1,sin1cos1,sin1abc=−+=−=.再由Hamilton-Cayley定理知,()0Aψ=,于是,222sin()()()()(2sin1cos1)(sin1cos1)(sin1)201110100(2sin1cos1)000(sin1cos1)311(sin1)0106030210016sin13cos1sin1cos12siAeIAfAgAAaAbAcIaAbAcIAAIψ−==+++=++=−++−+−=−++−−−+−−−−=n1cos13sin13cos1cos1sin1cos1.12sin16cos12sin12cos14sin12cos1+−+−−−−+也可令21111()()egabcλλψλλλ=+++,按上面的方法求得12,1aebc=−===,得到2111201110100(2)0003110106030210016212301.126234AeaAbAcIeeeee=++−=−+−−+−−−=−−−,令22222sin(1)()()gabcλλψλλλ−=+++,解得2sin1cos1,cos1,sin1,abc=−+=−=进而求得2222sin()201110100(sin1cos1)000(cos1)311(sin1)0106030210013sin13cos1cos1sin1cos13cos1sin1cos1cos1.6sin16cos12cos12sin12cos1IAaAbAcI−=++−=−+−−−+−−−−+=+−−−−+,四、(14分)求100001101A=的奇异值分解.解201000102TAA=,201||00(1)(3)102TIAAλλλλλλλ−−−==−−−−,故TAA的特征值为1233,1,0λλλ===,对应的特征向量依次为1231100,0,1110ppp−===.故酉矩阵1102200111022V−=,使得300()010000TTVAAV=.令11111116210012201100100362011011120226UAV−−−=Σ==,取2161626U=−,12111626111(,)62622066UUU−==−,则U是酉矩阵,A的奇异值分解为111110626223000111110100006262200001022066HAUV−Σ==−−.五、（16分）设11221132213524iA=（其中1i=−）的特征值为123,,λλλ.(1)利用Gerschgorin定理隔离123,,λλλ，并给出它们的分布区域；(2)证明：1232547||||||44λλλ≤++≤.解(1)A的三个盖尔圆为：1:1Gzi−≤,2:31Gz−≤,35:54Gz−≤,故A的三个特征值分布在123GGGGG内.由于1G是孤立的盖尔圆,根据Gerschgorin定理知,1G中有A的一个特征值,设为1λ.2G和3G相交.选取(2,1,1)Ddiag=,令1111134213544iBDAD−==.则B与A相似,从而有相同的特征值.B的三个盖尔圆为：1:2Gzi′−≤,23:34Gz′−≤,3:51Gz′−≤.易见,123,,GGG′′′互不相交,故123,,GGG′′′中各有A的一个特征值,设位于23,GG′′中的特征值依次为23,λλ.由于1G的半径小于1G′的半径,故可知,123,,λλλ分别位于盖尔圆1G,2G′和3G′中.(2)由(1)知,11iλ−≤,2334λ−≤,351λ−≤,因此123933150||1||2,3||3,451||5164444iλλλ≤≤+==−≤≤+==−≤≤+=,123259154704||||||264444λλλ=++≤++≤++=.六、（20分）设123(1,0,1),,(,,),(1,1,0)TTTTABAAxxxxb=−===.(1)求A的全部{1}逆；(2)在A的{1}逆中求A+；(3)利用Moore-Penrose逆判断方程组Bxb=是否相容.解(1)设A的{1}逆为(,,)Xabc=.由AXAA=得1110(,,)00111abc=−−−,故1ac−=,即1ac=+.所以,A的全部{1}逆为{}{1}(1,,),Acbcbc=+任意{1}逆.(2)Moore-Penrose逆(,,)Xabc=还满足,(),()HHXAXXAXAXXAXA===.由110(1,,)00011cbcAXcbccbc+=+=−−−−−,及()HAXAX=得10,2bc==−,所以,11(,0,)22A+=−.(3)方程组Bxb=相容的充要条件是BBbb+=,而()()()TTTBAAAAAA++++++===,所以,()()()111211()0(,0,)10,221012TTTHBBbAAAAbAAAAbAAAAbAAAAbAAbb++++++++++======−=≠−−故Bxb=不相容.