2009-2010第一学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

数理统计与随机过程（研）试题第1页共8页北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研)课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80x分，样本标准差8s分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.）？解：这是单个正态总体),(~2NX，方差2未知时关于均值的假设检验问题，用T检验法.解85:0H，85:1H选统计量nsxT/0已知80x，8s，n＝28，850，计算得nsxT/031.328/88580查t分布表，05.0，自由度27，临界值052.2)27(025.0t.由于052.2T2622.2，故拒绝0H，即在显著水平05.0下不能认为该班的英语成绩为85分.数理统计与随机过程（研）试题第2页共8页二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数k0123456≥7频数f81617106210试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布?（取显著性水平050.）解：由极大似然估计得.2ˆx在X服从泊松分布的假设下，X的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A0,A1,…,A8。则}{kXP有估计ipˆ,7,0,!2}{ˆ2kkekXPk0ˆp三、某公司在为期10年内的年利润表如下：年份12345678910利润1.892.192.062.312.262.392.612.582.822.9(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.）。四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：玻璃金铂6.6786.6836.6616.6716.6816.6616.6756.6766.6676.6726.6786.6676.6746.6796.664在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0,计算结果保留三位小数。五、某大型设备在任何长度为t的时间区间内发生故障的次数ttN0),(是强度的Poisson过程，记设备无故障运行时间为T。（1）求})(|)({4365NNP；（2）求自相关函数),(tsRN，写出推导过程；（3）求T的概率分布函数；（4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。数理统计与随机过程（研）试题第3页共8页六、（15分）设{,}nXnT是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,I，一步转移概率矩阵为2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P（1）求}4,2,1,3,2{54321XXXXXP；（2）求}1|3{2nnXXP；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。七、设X(t)是平稳随机过程，若)2cos()()(ttXtY，其中是在)2,0(上服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)(tY是否是平稳随机过程？标准答案（仅供参考）一．这是单个正态总体),(~2NX，方差2未知时关于均值的假设检验问题，用T检验法.解85:0H，85:1H选统计量nsxT/0已知80x，8s，n＝28，850，计算得nsxT/031.328/88580查t分布表，05.0，自由度27，临界值052.2)27(025.0t.由于052.2T2622.2，故拒绝0H，即在显著水平05.0下不能认为该班的英语成绩为85分.七．解：设)(,)(xxRct，)]2[cos()()]([)(tEttYEtXY数理统计与随机过程（研）试题第4页共8页0)2cos(2120dt2cos)()(2cos21)(]}2)(2cos[21)(2cos21{),()]()([),(XXXYRtsstRststEstRsYtYEstR其中所以，是平稳随机过程五解：（}1|3{2nnXXP=1/8。中无零元，所以遍历3)3(P。1),,,(),,,(.432143214321P的解，具体求解略平稳分布为以下方程组解得平稳分布为7/1,7/24321