数值分析复习题及答案

....数值分析复习题一、选择题1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A．4和3B．3和2C．3和4D．4和42.已知求积公式211211()(2)636fxdxfAff，则A＝（）A．16B．13C．12D．233.通过点0011,,,xyxy的拉格朗日插值基函数01,lxlx满足（）A．00lx＝0，110lxB．00lx＝0，111lxC．00lx＝1，111lxD．00lx＝1，111lx4.设求方程0fx的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A．超线性B．平方C．线性D．三次5.用列主元消元法解线性方程组1231231220223332xxxxxxxx作第一次消元后得到的第3个方程（）.A．232xxB．2321.53.5xxC．2323xxD．230.51.5xx二、填空1.设2.3149541...x，取5位有效数字，则所得的近似值x=.2.设一阶差商21122114,321fxfxfxxxx，322332615,422fxfxfxxxx....则二阶差商123,,______fxxx3.设(2,3,1)TX,则2||||X，||||X。4．求方程21.250xx的近似根，用迭代公式1.25xx，取初始值01x，那么1______x。5．解初始值问题00'(,)()yfxyyxy近似解的梯形公式是1______ky。6、1151A，则A的谱半径＝。7、设2()35,,0,1,2,...,kfxxxkhk，则12,,nnnfxxx和123,,,nnnnfxxxx。8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。10、为了使计算23123101(1)(1)yxxx的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。11.设TX)4,3,2(,则1||||X，2||||X.12.一阶均差01,fxx13.已知3n时，科茨系数33301213,88CCC，那么33C14.因为方程420xfxx在区间1,2上满足，所以0fx在区间内有根。15.取步长0.1h，用欧拉法解初值问题211yyyxy的计算公式.16.设*2.40315x是真值2.40194x的近似值，则*x有位有效数字。....17.对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f()。18.设(2,3,7)TX,则||||X。19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nnkkC。20.若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有()位有效数字.21.)(,),(),(10xlxlxln是以n,,1,0为插值节点的Lagrange插值基函数，则niixil0)(().22.设f(x)可微，则求方程)(xfx的牛顿迭代格式是().23.迭代公式fBXXkk)()1(收敛的充要条件是。24.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异，b不为0)的迭代格式fxx)()1(kkB中的B称为().给定方程组45892121xxxx，解此方程组的雅可比迭代格式为()。25、数值计算中主要研究的误差有和。26、设()(0,1,2)jlxjn是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则()jilx(,0,1,2)ijn；0()njjlx。27、设()(0,1,2)jlxjn是区间[,]ab上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数jA；且0njjA。28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。29、2()1,fxx则[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________ff。30.设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值，则x*有位有效数字。....31.3()1,[0,1,2,3]fxxxf设则差商(均差)，[0,1,2,3,4]f。32.求方程()xfx根的牛顿迭代格式是。33.已知1234A,则A,1A。34.方程求根的二分法的局限性是。三、计算题1．设3201219(),,1,44fxxxxx（1）试求fx在19,44上的三次Hermite插值多项式x使满足''11()(),0,1,2,...()()jjHxfxjHxfx，x以升幂形式给出。（2）写出余项()()()RxfxHx的表达式2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3．推导常微分方程的初值问题00'(,)()yfxyyxy的数值解公式：'''1111(4)3nnnnnhyyyyy（提示：利用Simpson求积公式。）4．利用矩阵的LU分解法解方程组1231231232314252183520xxxxxxxxx5.已知函数211yx的一组数据：求分段线性插值函数，并计算1.5f的近似值.....6.已知线性方程组1231231231027.21028.354.2xxxxxxxxx（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）于初始值00,0,0X，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算1X（保留小数点后五位数字）.7.用牛顿法求方程3310xx在1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.8.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dxx.9．用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34Lx计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。10.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]fxxx在区间内的一个根，误差限210。11.用高斯-塞德尔方法解方程组225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(x，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。12.求系数123,,AAA和使求积公式1123111()(1)()()233fxdxAfAfAf对于次数的一切多项式都精确成立13.对方程组841025410151023321321321xxxxxxxxx试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由14.确定求积公式)5.0()()5.0()(111CfxBfAfdxxf的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.15.设初值问题101)0(23xyyxy.(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；....(2)写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解21,yy，保留两位小数。16.取节点1,5.0,0210xxx，求函数xey在区间]1,0[上的二次插值多项式)(2xP，并估计误差。17、已知函数()yfx的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式3()Px，并计算13()2P的近似值。18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长0.1h，1,(0,0.6)(0)1.yyxxy。19．确定求积公式012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh。中待定参数iA的值(0,1,2)i，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20、已知一组试验数据如下：求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组1231231232346,3525,433032.xxxxxxxxx22.已知(1)用拉格朗日插法求()fx的三次插值多项式；(2)求x，使()0fx。确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度....24、用Gauss消去法求解下列方程组.试求12,xx使求积公式11211()[(1)2()3()]3fxffxfx的代数精度尽量高，并求其代数精度。.取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题'25(12)(1)1yxyxy.用列主元消去法求解方程组1231231231233151833156xxxxxxxxx并求出系数矩阵A的行列式detA的值.用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。29、已知数据如下：求形如bxay1拟合函数。30、用二次拉格朗日插值多项式2()Lx计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长0.2h,(0,0.8)(0)1.yyxxy。32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中212120203A.简述题：叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？....数值分析复习题答案一、选择题1.A2.D3.D4.C5.B二、填空1、2.31502、23121233153,,112,,416fxxfxxfxxxxx3、6和144、1.55、11,,2kkkkkhyfxyfxy6、()6A7、12123,,3,,,,0nnnnnnnfxxxfxxxx；8、收敛9、h10、11310121(1)(1)yxxx11.9和29；12.0101fxfxxx13.1814.120ff15.1200.11.1,0,1,210.11kkyykkyL；16、3；17、1；18、7；19、1；20．3；21.x；22.1()1()nnnnnxfxxxfx’；23.()1B；24、.迭代矩阵，1()121()211(8)91(4)5kkkkxxxx；25.相对误差绝对误差26.1,,0,ijij1；27.至少是n()bkalxdx，b-a；28.34(4)()(),(,)1802babafab；29.10；30、4；31、1，0；32、1()1'()nnnnnxfxxxfx；33、7,6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。三、计算题1．解：（1）3214263233122545045025xxxx（2）522191919()(1)(),()(,)4!164444Rxxxxx2．解：由()xx，可得3()3xxxx，1(()3)()2xxxx1()(()3)2xx’’因，故11()122xx’’（）-311()()3,k=0,1,....2kkkkxxxx故收敛。....3．.解：数值积分方法构造该数值解公式：对方程()yfx’在区间11,nnxx上积分，得1111()()(,())nnxnnxyxyxfxyxdx，记步长为h,对积分11(,())nnxxfxyxdx用Sim