求直导线中的感应电动势解

1课程指导课五第16章电磁场§1法拉第电磁感应定律§2动生电动势§3感生电动势§4自感和互感§5磁场的能量§6位移电流§7麦克斯韦方程组§8电磁波教师：郑采星大学物理2基本要求教学基本内容、基本公式第16章电磁场掌握法拉第电磁感应定律，楞次定律，电磁感应现象与能量守恒定律的关系。动生电动势，用电子理论解释动生电动势。理解感生电动势，涡旋电场，涡电流。理解自感与互感。能进行有关计算。理解位移电流，麦克斯韦电磁场理论，麦克斯韦方程组织分形式及其物理意义。了解振荡电路。电磁振荡。电磁波的产生和传播。了解电磁波的基本性质，电磁波的能流密度，电磁波谱。1法拉第电磁感应定律ddt导体回路中的感应电动势的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比。导体运动切割磁力线，将产生动生电动势；而仅由磁场随时间变化产生的电动势则称为感生电动势。这是感应电动势的两种类型。电动势lEkdlELkd2动生电动势LilBd)(v3感生电动势SLrStBlEdd34自感和互感电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈中产生的感应电动势等于该线圈的自感系数L。ddLiLt互感系数M表示两线圈之间产生互感能力的物理量.tiMdd互感取决于两个回路的几何形状，相对位置、两线圈的匝数以及它们周围的磁介质的分布。5磁场的能量自感磁能:221LIWm互感磁能121212WMII磁场能量的一般公式VVBHVWd21d磁场能量密度：BH216位移电流为了使安培环路定理具有更普遍的意义,麦克斯韦提出位移电流假设。47麦克斯韦方程组StBlESLdd)3(　　SSLStDSlHddd)4(　　VSVqSDdd)1(　　0d)2(SSB　　麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点：除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场；除传导电流激发磁场外，变化的电场（位移电流）也激发涡旋磁场。8电磁波变化的电场、变化的磁场相互激发，相互转化；以一定的速度由近及远地向周围空间传播电磁波。E天线iEHHH能源CLL’天线51.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在4.510-3S的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即SSBttddddd但在求解时应注意下列几个问题：1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。2．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由SSBd计算。对于均匀磁场则有cosdBSSBS其中SScos为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。6对于本题，2211coscosBSBSΦ1和2为两半圆形平面法线与B之间的夹角。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值，这对符号确定较为有利。迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，有，说明感应电动势方向与回路正向一致。0)coscos(dddd2211BSBStt)coscos(dd2211SStBVSStB422111091.4)coscos(3．感应电动势的方向可由-d/dt来判定，72.如图所示，真空中一长直导线通有电流I(t)=I0e-t，式中为t时间，I0、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共面。设时刻t二者相距为a，矩形框正以速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线框的磁通量（由长直电流所提供）为其中x随时间变化的，而且d参考：习题16.102dxlxBS021()ln2Itxllx0122dd()dln()lnd2ddxaxalxlxlItItttxx)(ln2)(22210laalalatIlvteItI0)(av1l2lddxaxtv设t时，二者相距为x.x201()d2xlxItlrr8由法拉第电磁感应定律得显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和。010222dlnd2()tlIalletaaalv01222()dlnd2()lItalltaaalvteItI0)(av1l2l()dBlv1121112()BlBllBBvvv)11(2)(2021alatIBBtealalI)(22200001222()tIllealavtealalnlI21002在中固定a，仅对t求导数得感生电动势alalnlI21002感生93.在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间变化的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直图面向里。在图面内有两条相交于O点的夹角为600的直导线Oa和Ob，而O点则是圆柱形空间与图面的交点。此外，在图面内另有一半径为r半圆环形导线在上述两条直线上以速度匀速滑动。的方向与∠aOb的平分线一致，并指向O点(如图)。在时刻t，半圆环的圆心正好与O点重合。此时磁感应强度大小为B。磁感应强度大小随时间的变化率为k(k为正数)。求此时半圆环的导线与两条直线围成的闭合回路CODC中的感应电动势。SdddddSBttΦktB261rS？注意下列几个问题：1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。2．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。10211由涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于t时刻所在位置静止不动时，回路CODC中的感生电动势，所以解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由感生电动势1和动生电动势2两部分叠加而成6/ddd2srkSBtCD弧上的动生电动势相当于CD弦上的动生电动势，所以2()dcdBlBrBCDvvv2/66(-/)BrrkrBrkvv若vB＞rk/6则的方向与所设正向一致，即顺时钟方向；vB＜rk/6，则的方向与所设正向相反，即逆时钟方向。114.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为2222ddlRltBdkEldkLElPQBoRl证1：取闭合回路OPQ由法拉第电磁感应定律，有PQBoRlddkLSBElStOP、QO段，因为Ek（涡旋电场）的方向与径向垂直，与dl矢量点积为0。PQ2222ddddddlRltBtBSt124.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为2222ddlRltBdkEl证2：在r＜R区域，感生电场强度的大小tBrEkd2d设PQ上线元dx处，Ek的方向如图所示，则金属杆PQ上的电动势为PQBoRlxoxdkErLLKKPQxExEEdcosdxrlRtBrld)2/(dd222022)2/(2ddlRltBrlR22)2/(cos13D[]AB(A)电动势只在导线AB中产生。5.在圆柱空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示。B的大小以速度dB/dt变化。在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线AB，则(B)电动势只在AB导线中产生。(C)电动势在AB和AB中都产生，且两者的大小相等。(D)AB导线中的电动势小于AB导线中的电动势。14连接AO与OB分别与AB、AB组成闭合回路L。ABSLrStBlEdd包含AB的闭合回路L扇形面积S11dddSABrLrStBlElE包含AB的闭合回路L三角形面积S22dddSABrLrStBlElEB/t一致，且S1S2AB导线中的电动势小于AB线中的电动势。156.如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。参考：习题16.4感应电流所受安培力的方向？vBBlIdBv16导体棒沿轨道方向的动力学方程为将式（l）代入式（2），并令则有分离变量并两边积分mRlBH222cos22cos(1)ABlFBIlBlRR　　vdsincos(2)dAmgFmamt　　vdsindgHtvv如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为17得由此得导体在t时刻的速度由上式可知，当t222222cossincos(1)BltmRmgRBlev00ddsinttgHvvv1sinlnsingHtHgv222sincosmmgRBlvv分离变量并两边积分dsindgHtvv此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其v－t图线如图所示。1978年全国高考物理试题187.面积为S和2S的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用12表示，则21和12的大小关系为：12S2SII答案：(C)电流I1产生的磁场在回路中L2引起的全磁通正比于电流I1，即12121IM电流I2产生的通过回路L1的全磁通也正比于电流I2，即12122MI对于给定的一对线圈回路，可以证明：MMM1221本题有12II所有21122112211221122112(A)2.(B).1(C).(D).2198.长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I=I0sint时，求直导线中的感应电动势。解:如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B=0I/2r．在矩形线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为00ddln22acScIbrIbacBSrc互感系数为0ln2bacMIc当线圈中通以交变电流I=I0sint时，直导线中的感应电动势大小为tIMddtIccabcos)(In200M12=M21=MIbcaM=？参考：习题16.17209.两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M．(1)将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的自感；(2)将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．参考：习题16.191234(a)234