线性代数试题及答案

线性代数期末试卷共19页第1页12011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)考试方式：闭卷考试时间：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A为mn矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充分必要条件是A的（A）．(A)列向量组线性无关，（B）列向量组线性相关，（C）行向量组线性无关，（D）行向量组线性相关．2．向量,,线性无关，而,,线性相关，则（C）。(A)必可由,,线性表出，（B）必不可由,,线性表出，（C）必可由,,线性表出，（D）必不可由,,线性表出.3.二次型222123123(,,)(1)1fxxxxxx，当满足（C）时，是正定二次型．(A)1；（B）0；（C）1；（D）1．4．初等矩阵（A）；(A)都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B）所对应的行列式的值都等于1；（C）相乘仍为初等矩阵；（D）相加仍为初等矩阵5．已知12,,,n线性无关，则（C）A.12231,,,nn必线性无关；B.若n为奇数，则必有122311,,,,nnn线性相关；C.若n为偶数，则必有122311,,,,nnn线性相关；D.以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型232221213214,,xxxxtxxxxf秩为2，则t7．设矩阵020003400A，则1A线性代数期末试卷共19页第2页28．设A是n阶方阵，*A是A的伴随矩阵，已知5A，则*AA的特征值为。9．行列式111213212223313233ababababababababab=__________;10.设A是4×3矩阵，()2RA，若102020003B，则RAB=_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233abababDabababababab的值。12．设矩阵111111111A，矩阵X满足*12AXAX，求X。13．求线性方程组13413212302432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx的通解。14．已知12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2TTTT，求出它的秩及其一个最大无关组。15.设A为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,123,,依次是属于特征值123,,,的特征向量，令123,若3AA，求A的特征值并计算行列式23AE.四、解答题（10分）16.已知100032023A，求10A五、证明题（每小题5分，共10分）线性代数期末试卷共19页第3页317.设是非齐次线性方程组AXb的一个特解，12,,,r为对应的齐次线性方程组0AX的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r线性无关。18.已知A与AE都是n阶正定矩阵，判定1EA是否为正定矩阵，说明理由.2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2011.5.28一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,AB为n阶矩阵，下列运算正确的是（）。A.();kkkABABB.;AAC.22()();ABABABD.若A可逆，0k，则111()kAkA；2．下列不是向量组12,,,s线性无关的必要条件的是（）。A．12,,,s都不是零向量;B.12,,,s中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.12,,,s中任意两个向量都不成比例;D.12,,,s中任一部分组线性无关;3.设A为mn矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充分必要条件是A的（）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（），则矩阵A与矩阵B相似。A.AB；B.rArB；C.A与B有相同的特征多项式；线性代数期末试卷共19页第4页4D.n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；5．二次型222123123(,,)(1)1fxxxxxx，当满足（）时，是正定二次型。A.1；B.0；C.1；D.1。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设300140003A，则12AE＝；7．设(,1,2)ijAij为行列式2131D中元素ija的代数余子式，则11122122AAAA；8．100201100010140001201103010=；9．已知向量组123,,线性无关，则向量组122313,,的秩为；10.设A为n阶方阵，AE，且3RAERAEn，则A的一个特征值；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设111122220+aaAannnna，求A。12．设三阶方阵A，B满足方程2ABABE，试求矩阵B以及行列式B，其中线性代数期末试卷共19页第5页5102030201A。13．已知111011001A，且满足2AABE，其中E为单位矩阵，求矩阵B。14．取何值时，线性方程组1231231232124551xxxxxxxxx无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。15.设12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)，求该向量组的秩和一个极大无关组。四、解答题（10分）16．已知三阶方阵A的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1，2，3。其中：11,1,1T，21,2,4T，31,3,9T，1,1,3T。（1）将向量用1，2，3线性表示；（2）求nA，n为自然数。五、证明题（每小题5分，共10分）17．设A是n阶方阵，且RARAEn，AE；证明：0Ax有非零解。18．已知向量组(I)123,,的秩为3，向量组(II)1234,,,的秩为3，向量组(III)1235,,,的秩为4，证明向量组12354,,,的秩为4。2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.12.19一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;线性代数期末试卷共19页第6页6（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于2nn个.2．下列矩阵中（）不满足2AE。(A）1211;（B）1211;（C）1211;（D）1121.3.设,AB为同阶可逆方阵,则()。(A)ABBA；(B)存在可逆矩阵1,PPAPB使；(C)存在可逆矩阵,TCCACB使；(D)存在可逆矩阵,,PQPAQB使.4．向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（）（A）错误!未找到引用源。均不为零向量；（B）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；（C）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（）。（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件;二、填空题（每小题3分，共15分）6．设101020101A，则22AA=；7．已知,,,,,,31211321设,AT则A；8．设A是三阶方阵，且1A，则*12AA；线性代数期末试卷共19页第7页79．已知向量组12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,则该向量组的秩为;10.已知111242335A，00020002B，且A于B相似，则。三、计算题（每小题10分，共50分）11．12312111111111111(0)1111nnnaaDaaaaa12．12．已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组1231231232202030xxxxxxxxx的解.①求的值；②证明0B.13．设3阶矩阵X满足等式XBAX2,其中311110012,102,004202AB求矩阵X。14．求向量组123411343354,,,,2232334253101的秩及最大无关组。15.设212312331001(,,)(,,)300430xfxxxxxxxx1.求二次型123(,,)fxxx所对应的矩阵A；2.求A的特征值和对应的特征向量。线性代数期末试卷共19页第8页8四、解答题（10分）16．12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),TTTaa3(1,2,2)Tbab，试讨论ba,为何值时（1）不能用321,,线性表示；（2）可由321,,唯一地表示，并求出表示式；（3）可由321,,表示，但表示式不唯一，并求出表示式。五、证明题（每小题5分，共10分）17．设12,,,n错误!未找到引用源。是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。18．设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，且,AB可交换，AB可逆，证明：1ABAB是正交矩阵。。线性代数期末试卷共19页第9页9武汉科技大学2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,AB为n阶矩阵，下列运算正确的是（D）。A.();kkkABABB.;AAC.22()();ABABABD.若A可逆，0k，则111()kAkA；2．下列不是向量组12,,,s线性无关的必要条件的是（B）。A．12,,,s都不是零向量;B.12,,,s中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.12,,,s中任意两个向量都不成比例;D.12,,,s中任一部分组线性无关;3.设A为mn矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充分必要条件是A的（A）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（D），则矩阵A与矩阵B相似。A.AB；B.rArB；C.A与B有相同的特征多项式；D.n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；5．二次型222123123(,,)(1)1fxxxxxx，当满足（C）时，是正定二次型．A.1；B.0；C.1；D.1。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设300140003A，则12AE＝1