高阶线性微分方程

●§7.1常微分方程模型与基本概念●§7.2一阶微分方程●§7.3特殊二阶方程的降阶法第七章常微分方程★§7.4二阶线性微分方程§7.4二阶线性微分方程7.4.1二阶线性微分方程解的结构内容小结与作业7.4.2二阶常系数线性微分方程Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件7.4.1二阶线性微分方程解的结构1.高阶微分方程的概念当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物体位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.xxoDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力sinFHpt作用,，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd222Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件求电容器两两极板间电压0ddiRCqtiLE例2.联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.cu解:设电路中电流为i(t),∼~‖LERKCqqi上的电量为q(t),自感电动势为,LE由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板在闭合回路中,所有支路上的电压降为0Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututu22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:故有∼~‖LERKCqqiDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd时，当0)(xf二阶线性齐次微分方程时，当0)(xf二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnnDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件定义:12(),(),,()nyxyxyx设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数线性无关Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件2.二阶齐次方程解的结构:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）问题:yCyCy1122一定是通解吗？)1(0)()(yxQyxPy定理2如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解.例如,0yy,sin,cos21xyxytanyxy21且常数,.sincos21xCxCyDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件3.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设*y是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.定理4设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函数之和,如)()()()(21xfxfyxQyxPy,而*1y与*2y分别是方程)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy的特解,那么*2*1yy就是原方程的特解.解的叠加原理Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件例3.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:yyyy2131与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例4.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件4.降阶法求齐次线性方程特解()y11设是方程的一个非零特解,(),yuxy21令代入(1)式,得,0))()(())(2(111111uyxQyxPyuyxPyuy,uv令则有,0))(2(111vyxPyvy,0))(2(111uyxPyuy即Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件解得,1)(21dxxPeyvdxeyudxxP)(211,1)(2112dxeyyydxxP刘维尔公式齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP0))(2(111vyxPyvy降阶法的一阶方程vDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件5.用常数变易法求非齐次线性方程的通解设对应齐次方程通解为2211yCyCy(3)设非齐次方程的解为2211)()(yxcyxcy22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy设0)()(2211yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy(4)Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件,,(),yyy2将代入方程得)())()()(())()()(()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc)()()(2211xfyxcyxc(5)(4),(5)联立方程组)()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc(),yywxyy12120系数行列式Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件,)()()(21xwxfyxc,)()()(12xwxfyxc积分可得,)()()(211dxxwxfyCxc,)()()(122dxxwxfyCxc非齐次方程通解为.)()()()(12212211dxxwxfyydxxwxfyyyCyCyDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件xyyyxxx1111求方程的通解.解:,01111xxx对应齐次方程一特解为,1xey由刘维尔公式dxeeeydxxxxx1221,x对应齐次方程的通解为.21xeCxCY例5.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件,)()(21xexcxxcy设原方程的通解为应满足方程组，)()(21xcxc1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx，11)(Cxxc原方程的通解为.1221xxeCxCyxDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件()(1)11()nnnnypypypyfxn阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式7.4.2二阶常系数线性微分方程1.二阶常系数线性微分方程的定义Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件-----特征方程法,rxye设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy2.二阶常系数齐次线性微分方程的求解Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件①有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件②有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件③有一对共轭复根,1jr,2jr,)(1xjey,)(2xjey)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyjy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件这种由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法..044的通解求方程yyy解:特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例6.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件.052的通解求方程yyy解:特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例7.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件3.n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnn