概率论与数理统计教程(魏宗舒第二版)1-4章答案

1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合.(1)10件产品中有一件是不合格品,从中任取2件得一件不合格品.(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(i)取出白球,(ii)取出红球.(3)甲、乙两人从装有𝑎个白球与𝑏个黑球的口袋中轮流取球,甲先取,乙后取,每次取球后不放回,知道两人中有一人取到白球时停止,甲先取到白球.解:(1).用𝜔𝑖表示第𝑖个合格品,用𝜔0表示不合格品.则样本空间为={(𝜔𝑖,𝜔𝑗)|𝑖,𝑗=0,1,···,9,𝑖̸=𝑗}.事件取到一个不合格品可表示为:{(𝜔0,𝜔𝑖)|𝑖=1,2,···,9}∪{(𝜔𝑖,𝜔0)|𝑖=1,2,···,9}.(2).用𝑤1,𝑤2表示两个白球,𝑏1,𝑏2,𝑏3表示三个黑球,𝑟1,𝑟2,𝑟3,𝑟4表示四个红球.用表示样本空间,𝐴表示取到白球,𝑅表示取到红球.那么={𝑤1,𝑤2,𝑏1,𝑏2,𝑏3,𝑟1,𝑟2,𝑟3,𝑟4}𝐴={𝑤1,𝑤2},𝑅={𝑟1,𝑟2,𝑟3,𝑟4}.(3).用𝑤表示取到白球,𝑏表示取到黑球.则={(𝑤),(𝑏,𝑤),(𝑏,𝑏,𝑤),(𝑏,𝑏,𝑏,𝑤),···,(𝑏,𝑏,···,𝑏,⏟⏞𝑏个𝑤)}1.2在数学系的学生中任选一名学生,令事件𝐴表示被选学生是男生,事件𝐵表示该学生是三年级学生,事件𝐶表示该学生是运动员.(1)叙述事件𝐴𝐵𝐶的意义.(2)在上面条件下𝐴𝐵𝐶=𝐶成立?(3)上面时候关系式𝐶⊂𝐵是正确的.(4)什么时候𝐴=𝐵成立?解:(1).𝐴𝐵𝐶表示被选的学生是三年级不是运动员的男生.(2).𝐴𝐵𝐶=𝐶⇔𝐶⊂𝐴𝐵,所以𝐴𝐵𝐶=𝐶成立,当且仅当运动员都是三年级男生.(3).当运动员都是三年级学生时𝐶⊂𝐵成立.(4).𝐴=𝐵⇔𝐴⊂𝐵,𝐵⊂𝐴,所以𝐴=𝐵的充分必要条件是\三年级学生都是女生,且女生都是三年级学生.1.3一个工厂生产了𝑛个零件,以事件𝐴𝑖表示他生产的第𝑖个零件时合格品(1≤𝑖≤𝑛),用𝐴𝑖表示下列事件.(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品.解:(1).𝑛⋂︀𝑖=1𝐴𝑖;(2).𝑛⋂︀𝑖=1𝐴𝑖=𝑛⋃︀𝑖=1𝐴𝑖;(3).𝑛⋃︀𝑖=1[𝐴𝑖(𝑛⋂︀𝑗=1𝑗̸=𝑖𝐴𝑗)];(4).𝑛⋃︀𝑖,𝑗=1𝑖̸=𝑗𝐴𝑖𝐴𝑗.1.4在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率.解:样本点总数为𝐴28=56.所得分数为既约分数必须分子分母或为2、7、11、13中的两个,或为4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以事件所得分数为既约分数包含个样本点.于是所求概率为𝑃=𝐴24+(4×)3×256=12+2456`=914.另外,我们还注意到只有2,4,6,8,12中的两种可以组成非即约分数,因此所求的概率为:𝑃=1−𝐴2556=1−2056=914.11.5一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏.如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问\恰好组成MATHEMATICIAN一词的概率为多大？解:这13个字母可排成13!3!2!2!2!种不同的排列,而不同的排列出现的概率是一样的,故这13个字母能排成MATHEMATICIAN的概率为3!2!2!2!13!=4813!.1.6一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解:每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,每位乘客都有9种离开电梯的方式,所以样本点总数为97.事件\没有两位及两位以上乘客在同一层离开相当于\从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯.所以包含𝐴79种方式,于是所求的概率为:𝑃=𝐴7997.1.7某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000.问事件\偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8的概率为多大?解:因为牌照的第一个数字必然不是8,而后四位中没有8的号码共有94种,因此所求的概率为:1−9410000=1−(︂910)︂4.1.8有5双不同的鞋,从中任取4只,问没有一双配对的概率.解:方法一:从5双鞋中任取4只,共有𝐶410中取法.4只鞋中恰有两双的取法有𝐶25种,4只鞋中恰有一双的取法为:先从5双中取一双,再以以下方式取剩余的两只:1)从剩余的左脚或者右脚中任取两只;2)或者从剩余的4只左脚中任取一只,从和它不匹配3只右脚中任取一只.因此所求的概率为:1−𝐶25+𝐶15(2𝐶24+4×3)𝐶410=821.方法二:4只鞋中没有配对的取法为:从5只左脚任取𝑖只,再从和所取左脚都不匹配的5−𝑖只右脚中任取4−𝑖只,𝑖=0,1,2,3,4.故4只鞋中没有配对的取法数为∑︀4𝑖=0𝐶𝑖5𝐶4−𝑖5−𝑖=80.故所求概率为𝑃=8/𝐶410=8/21.4.9袋中有𝑎只黑球,𝑏只白球,把球随机一只一只地取出来(不放回),求第𝑘次(1≤𝑘≤𝑎+𝑏)摸出黑球的概率.解:第𝑘取到这𝑎+𝑏个球中的任一个的概率都是一样的.第𝑘次取到的球共有𝑎+𝑏种不同的情况,而取到黑球有𝑎种情况,故所求的概率为𝑎𝑎+𝑏.4.10任取一个正数,求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1.解:(1).一个数的末位数上的数字有10种情况.要使平方后的末位数字是1,则该数的末位是1或者9,所以所求概率为210=15.(2).一个数的末位数有10种情况.而要使其立方后的末位数字是1,该数的末位必须是1,3,7或9,故所求概率为410=25.(3).一个数的立方的最后两位数都是1,则它的末位必须是1.故可设该数的末两位数是10𝑎+1.因为(10𝑎+1)3=1000𝑎3+300𝑎2+30𝑎+1.可以看出,该数立方后末两位为11,则30𝑎+1的末两位是11,即30𝑎的十位上的数是1,那么𝑎=7.所以要使一个数的立方的末两位都是1,那么这个数的末两位必须是71.因此所求的概率为1/100.1.11一个人把6根绳子掌握在手中,仅露出它们的头和尾.然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接.求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率.并把上述结果推广到根绳子的情形.解:不妨假定2𝑛根绳子的头中第2𝑖−1和第2𝑖根绳子的头已经两两相连,𝑖=1,2,···,2𝑛.第一个绳子的尾部有2𝑛−1种接法,剩余的2𝑛−2根绳子中编号最小的那根绳子的尾部有2𝑛−3种接法,再剩下的2n-4根绳子中,编号最小的那根,其尾部有2𝑛−5中接法,......因此可知,把2𝑛根绳子的尾部两两相接,共有(2𝑛−1)(2𝑛−3)···3×1=(2𝑛−1)!!种接法.22𝑛根绳子要接成环形,因为第2𝑖−1和第2𝑖根绳子的头,已经两两相接,故它们的尾部不能相接.因此要接成环形,第1根绳子有2𝑛−2种接法.和第一根绳子尾部相接的那对绳子的另外一根,和其余2𝑛−4根绳子中任一根的尾部再相接,一直坐下去,可知2𝑛根绳子能接成环形,共有(2𝑛−2)!!=(2𝑛−2)(2𝑛−4)···2种接法,故可知2𝑛根绳子能接成环形的概率为(2𝑛−2)!!(2𝑛−1)!!.或者我们也看如下计算.设有2𝑛根绳子时,尾部两两相接共有𝑓(𝑛)种接法,而成环形的接法有𝑔(𝑛)种.当有2(𝑛+1)根绳子时,第一根绳子的尾部有2n+1中接法.剩下的2𝑛根绳子尾部两两相接有𝑓(𝑛)种接法.故可知𝑓(2(𝑛+1))=(2𝑛+1)𝑓(𝑛).有𝑓(1)=1以及递推关系可知𝑓(𝑛)=(2𝑛−1)!!.假定前2𝑛根绳子已经接成环形.其尾部接点共有𝑛个.任选一个接点,把其打开,把第2𝑛+1,2(𝑛+1)根绳子接入,因为这两个绳子已经头部相接,故接入方法共有两种,因此𝑔(𝑛+1)=2𝑛[𝑔(𝑛)].显然𝑔(1)=1.由递推关系可知𝑔(𝑛)=(2𝑛−2)!!.由以上可知2𝑛根绳子能接成环形的概率为𝑔(𝑛)𝑓(𝑛)=(2𝑛−2)!!(2𝑛−1)!!.当有六根绳子时,即𝑛=3,此时绳子能构成环的概率为(4!!)/(5!!)=8/15.1.12某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率.解:设上一趟公交车开走的时刻为0.用𝑡表示乘客到达时刻,则样本空间为={𝑡|0𝑡≤5}.事件\乘客候车不超过3分钟可用集合𝐴={𝑡|2≤𝑡5}表示,故所求概率为5−25−0=35.1.13在△𝐴𝐵𝐶中任取一点𝑃,证明△𝐴𝐵𝑃与△𝐴𝐵𝐶的面积之比大于𝑛−1𝑛的概率为1𝑛2.解:见图1-13.设点𝐶到𝐴𝐵的距离为ℎ,𝑃到𝐴𝐵的距离为𝑥.则△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐵𝑃的面积之比为12|𝐴𝐵|·𝑥12|𝐴𝐵|·ℎ=𝑥ℎ.所以两个三角形面积之比大于𝑛−1𝑛,当且仅当𝑥≥𝑛−1𝑛ℎ.在线段𝐴𝐶,𝐵𝐶上找点𝐷,𝐸,使得𝐷𝐸//𝐴𝐵,且𝐷𝐸到𝐵𝐶的距离为𝑛−1𝑛ℎ.那么当且仅当𝑃落入△𝐷𝐸𝑃时,△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐵𝐶的面积之比大于𝑛−1𝑛.故所求的概率为就是点𝑃落入△𝐷𝐸𝐶的概率,即等于△𝐷𝐸𝐶的面积△𝐴𝐵𝐶的面积=(︂1𝑛)︂2.习题1.13图习题1.14图1.14在线段𝐴𝐵上任取三点𝑥1,𝑥2,𝑥3,求：(1).𝑥2位于𝑥1,𝑥3之间的概率.(2).𝐴𝑥1,𝐴𝑥2,𝐴𝑥3能构成一个三角形的概率.解:(1).因为𝑥1,𝑥2,𝑥3任何一点位于其余两点之间的概率都是相等的,故𝑥2位于𝑥1,𝑥3之间的概率为13.(2).设线段𝐴𝐵的长度为𝑙.𝐴𝑥1,𝐴𝑥2,𝐴𝑥3的长度分别为𝑦1,𝑦2,𝑦3,则𝑦1,𝑦2,𝑦3等可能的在区间[0,𝑙]上取值,(𝑦1,𝑦2,𝑦3)构成的样本空间为={(𝑦1,𝑦2,𝑦3)|0≤𝑦𝑖≤1,𝑖=1,2,3}.3这三个线段能构成三角形当且仅当𝑦1+𝑦2𝑦3,𝑦1+𝑦3𝑦2,且𝑦2+𝑦3𝑦1.即(𝑦1,𝑦2,𝑦3)位于下图所示的由面𝐴′𝐵𝑂,𝐴′𝐵𝐵′,𝐵𝐵′𝐶′,𝐴′𝐵′𝐶′,𝐴′𝑂𝐶′,𝐵𝑂𝐶′所围的区域𝑉内.所求的概率解为:𝑉的体积正方体𝐴𝐵𝐶𝑂−𝐴′𝐵′𝐶′𝑂′的体积=121.15已知不可能事件的概率为0,现在问概率为零的事件是否一定是不可能事件?解:从区间[0,1]内任取一个数,𝐴表示\取到数0.5.显然事件𝐴不是不可能事件,但是𝑃(𝐴)=0.这个例子说明概率为零的事件不一定是不可能事件.1.16设𝐴1,𝐴2为两个随机事件,证明：(1).𝑃(𝐴1𝐴2)=1−𝑃(𝐴1)−𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐴1𝐴2);(2).1−𝑃(𝐴1)−𝑃(𝐴2)≤𝑃(𝐴1𝐴2)≤𝑃(𝐴1∪𝐴2)≤𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2).解:(1).𝑃(𝐴1𝐴2)=1−𝑃(𝐴1𝐴2)=1−𝑃(𝐴1∪𝐴2)=1−[𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)−𝑃(𝐴1𝐴2)]=1−𝑃(𝐴1